Epsilon-Delta Beweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium, dass die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=x^{3} [/mm] bei [mm] x_{0}=1 [/mm] stetig ist |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe, hab aber am Ende Probleme mit der Abschätzung.
[mm]\varepsilon-\delta [/mm] Kriterium:[mm] \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D :(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon[/mm]
Das heißt für [mm]|x-x_{0}|=|x-1|<\delta[/mm] und für [mm]|f(x)-f(x_{0})|=|x^{3}-1|<\varepsilon[/mm]
Jetzt muss ich ja [mm]\delta[/mm] von [mm]x[/mm] unabhängig abschätzen. Frage ist nur wie ... :)
Ansatz:
[mm]|x^{3}-1|=|(x-1)(x^{2}+x+1)|[/mm] durch Polynomdivision. Das kann ich jetzt abschätzen durch [mm]|x-1|<\delta \Rightarrow |(x-1)(x^{2}+x+1)|\le \delta|(x^{2}+x+1)|<\varepsilon[/mm]
Also ist [mm]\delta:=min(1,\bruch{\varepsilon}{|(x^{2}+x+1)|})[/mm]
Problem ist, dass die Abschätzung von x abhängt, was ja nicht sein darf ...
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 21.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] \delta [/mm] darf von [mm] x_0 [/mm] abhängen, je größer [mm] x_0 [/mm] desto kleiner [mm] \delta
[/mm]
du wählst ein vorläufiges [mm] \delta, [/mm] z. Bsp [mm] \delta_1=0.5 [/mm] oder [mm] \delta_1=0.1 [/mm] oder sonstwas, dann weisst du [mm] x_0-\delta
Gruss leduart
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