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| Aufgabe | | Beweise [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{\wurzel[k]{n}})_{n\in\IN}=0 [/mm] f.a. [mm] k\ge2 [/mm] |
Hallo, ich habe das folgener Maßen gelöst. Weiss aber nicht, ob man (allgemein) einfach diese Umformung machen kann. (Wobei mir aber nichts einfgefallen ist, warum ich es nicht machen kann.)
Lösung:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wir wissen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = 0. Da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existerit ein [mm] \varepsilon^{k} [/mm] > 0. D.h. es existert ein [mm] N\in\IN, [/mm] derart, dass f.a. [mm] n\ge [/mm] N gilt: [mm] \vmat{ \bruch{1}{n}-0 } [/mm] < [mm] \varepsilon^{k} \Rightarrow \vmat{ \bruch{1}{\wurzel[k]{n}}-0 } [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]
Klingt in meinen Augen plausibel, aber ist es so einfach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweise
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{\wurzel[k]{n}})_{n\in\IN}=0[/mm]
> f.a. [mm]k\ge2[/mm]
> Hallo, ich habe das folgener Maßen gelöst. Weiss aber
> nicht, ob man (allgemein) einfach diese Umformung machen
> kann. (Wobei mir aber nichts einfgefallen ist, warum ich es
> nicht machen kann.)
>
> Lösung:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Wir wissen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm] = 0. Da [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 existerit ein [mm]\varepsilon^{k}[/mm] > 0. D.h. es existert ein
> [mm]N\in\IN,[/mm] derart, dass f.a. [mm]n\geN[/mm] gilt: [mm]\vmat{ \bruch{1}{n}-0 }[/mm]
> < [mm]\varepsilon^{k} \Rightarrow \vmat{ \bruch{1}{\wurzel[k]{n}}-0 }[/mm]
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Klingt in meinen Augen plausibel, aber ist es so einfach?
Ja, das geht.
Viele Grüße
Rainer
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