Epigraph, Indikatorfkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (i) Gibt es eine Funktion f: [mm] R^n [/mm] -> [mm] \overline{R} [/mm] mit einem leeren Epigraphen?
(ii) [mm] S_1,S_2 \subset R^n [/mm] seien zwei Mengen. Zeige: [mm] l_{S_1} [/mm] + [mm] l_{S_2} [/mm] = [mm] l_{S_1 \cap S_2}.
[/mm]
(iii) Sei T: [mm] R^n [/mm] -> [mm] R^m, [/mm] S [mm] \subset R^m.
[/mm]
Zeige: [mm] l_S \circ [/mm] T = [mm] l_{T^{-1}(S)}.
[/mm]
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Hallo,
ich bin mir hier nicht sicher.Der Epigraph einer Funktion ist ja so definiert:
epi f := [mm] \{(x,a) \in X \times R^1 : f(x) \leq a\}, [/mm] und [mm] \overline{R} [/mm] sind die erweiterten reellen Zahlen : [mm] \overline{R}:= [/mm] R [mm] \cup \{ - \infty, \infty\}.
[/mm]
Der epigraph ist doch die Menge über dem Graphen der Funktion, oder? Deshalb denke ich gibt es keine, bei der epi f = [mm] \emptyset [/mm] gilt, da ja selbst bei f(x) = [mm] \infty [/mm] , f(x) [mm] \leq [/mm] a gilt für a = [mm] \infty. [/mm] Stimmt das so?
(ii) Für die Indikatorfunktion gilt ja
[mm] l_{S_1}(x) :=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in S_1 \\ \infty, & \mbox{für } x \notin S_1 \end{cases}
[/mm]
d.h. [mm] l_{S_1 \cap S_2}(x) :=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in S_1 \cap S_2 \\ \infty, & \mbox{für } x \notin S_1 \cap S_2 \end{cases}
[/mm]
Wie ist das nun aber mit der Summe, ich hab mir folgendes überlegt:
[mm] l_{S_1}(x) [/mm] + [mm] l_{S_2}(x) :=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in S_1 \mbox{und} x \in S_2 \\ \infty, & \mbox{für } ? \end{cases}
[/mm]
also kann man hier sagen dass 0 + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Dann wäre die Möglichkeiten für [mm] l_{S_1}(x) [/mm] + [mm] l_{S_2}(x)= \infty [/mm] :
x [mm] \in S_1 [/mm] und x [mm] \notin S_2
[/mm]
x [mm] \in S_2 [/mm] und x [mm] \notin S_1
[/mm]
x [mm] \notin S_1 [/mm] und x [mm] \notin S_2 [/mm] ?
und diese Bedingung zusammen sagen gerade das x [mm] \in (S_1 \cap S_2)^c, [/mm] also x [mm] \notin S_1 \cap S_2 [/mm] . Ist das so korrekt oder gibt es einen eleganteren Beweis dafür?
(iii)
Hier verstehe ich nicht, wie ich mir diese Kringelverknüpfung vorstellen kann'? Wie kann man die Gleichheit zeigen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:07 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> bei f(x) = $ [mm] \infty [/mm] $ , f(x) $ [mm] \leq [/mm] $ a gilt für a = $ [mm] \infty. [/mm] $
Ja, jedoch ist deine Definition :
> epi f := $ [mm] \{(x,a) \in X \times R^1 : f(x) \leq a\}, [/mm] $
also [mm] a\in \IR^1 [/mm] und damit [mm] \not=\infty [/mm] .
[mm] l_{S_1}(x)+l_{S_2}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in S_1 \mbox{und} x \in S_2 \mbox{ d.h. für }x\in S_1\cap S_2 \\ \infty, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
> also kann man hier sagen dass 0 + $ [mm] \infty [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $ und $ [mm] \infty [/mm] $ + $ [mm] \infty [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $ ?
Ja. Müsste bei der Def. von [mm] \overline{R} [/mm] gesetzt worden sein.
[mm] l_S\circ T(x)=l_S(T(x)) [/mm] , also die Werte in die Funtion rechts einsetzen, und dann das Ergebnis an die Fkt. links übergeben.
> Wie kann man die Gleichheit zeigen?
Du musst es für [mm] T(x)\in [/mm] S und [mm] T(x)\notin [/mm] S zeigen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Do 06.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine Antwort, d.h. f(x) = [mm] \infty [/mm] wäre also doch eine Funktion mit leerem Epigraphen?
> Ja. Müsste bei der Def. von [mm]\overline{R}[/mm] gesetzt worden
> sein.
Okay,d.h. das mit der Summe der Indikatorfunktionen hab ich richtig gezeigt?
> [mm]l_S\circ T(x)=l_S(T(x))[/mm] , also die Werte in die Funtion
> rechts einsetzen, und dann das Ergebnis an die Fkt. links
> übergeben.
>
> > Wie kann man die Gleichheit zeigen?
> Du musst es für [mm]T(x)\in[/mm] S und [mm]T(x)\notin[/mm] S zeigen.
ah, also so:
[mm] l_s(T(x)) =\begin{cases} 0, & \mbox{für } T(x) \in S \\ \infty , & \mbox{für } T(x) \notin S \end{cases} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in T^{-1}(S) \\ \infty , & \mbox{für } x \notin T^{-1}(S) \end{cases} [/mm] = [mm] l_{T^{-1}(S)}
[/mm]
Ist das so korrekt?
VieleN Dank und viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Ja. Passt alles.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Do 06.03.2008 | | Autor: | Riley |
okay cool, vielen Dank nochmal!
Viele Grüße,
Riley
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