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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 01.08.2008 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie f(x) = 1 / sqrt(1+x) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 in eine Potenzreihe |
Hi,
ich weiss nicht wie ich die n-te Ableitung bestimme.
f'(x) = -1/2 * (1+x)^(-3/2)
f''(x) = -1/2 * -3/2 * (1+x)^(-5/2)
usw
und dann bei der n-ten:
[mm] f^n(x) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * ?/2 * (1+x)^((-2*n+1)/2)
wie bestimme ich dieses ?
es ist ja quasi 1*3*5*7*... wie drückt man sowas denn geschickt aus?
Ich hatte probiert oben n! hinzuschreiben und im Nenner die "halbe"-Fakultät wieder rauszukürzen, allerdings könnte ich dann ja gleich oben die "halbe"-Fakultät hinschreiben. Habe ich das unglücklich aufgeschrieben und umgeformt, so dass es einen leichteren Weg gibt oder gibts sowas wie "halbe"-Fakultät (ungerade/gerade)?
Vielen Dank im Voraus :)
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> Entwickeln Sie f(x) = 1 / sqrt(1+x) an der Stelle [mm]x_0[/mm] = 0
> in eine Potenzreihe
> Hi,
> ich weiss nicht wie ich die n-te Ableitung bestimme.
>
> f'(x) = -1/2 * (1+x)^(-3/2)
> f''(x) = -1/2 * -3/2 * (1+x)^(-5/2)
> usw
> und dann bei der n-ten:
> [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * ?/2 * (1+x)^((-2*n+1)/2)
> wie bestimme ich dieses ?
Es wäre für Dich einfacher gewesen, den allgemeinen Fall hinzuschreiben, wenn Du nicht voreilige Umformungen der Faktoren, wie [mm] $-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$, [/mm] vorgenommen hättest. Mit solchen Umformungen erschwert man sich nicht gerade selten das Erkennen der dahinterliegenden Regelmässigkeit:
[mm]f^{(n)}(x)=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}-1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-(n-1)\right)\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}-n}[/mm]
Beim nächsten Ableiten fällt ja jeweils dieser Exponent [mm] $-\frac{1}{2}-n$ [/mm] von $1+x$ als Faktor "nach vorne".
> es ist ja quasi 1*3*5*7*... wie drückt man sowas denn
> geschickt aus?
Vielleicht so(?)
[mm]1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n+1)=\frac{(2n+1)!}{2^n\cdot n!}[/mm]
> Ich hatte probiert oben n! hinzuschreiben und im Nenner
> die "halbe"-Fakultät wieder rauszukürzen, allerdings könnte
> ich dann ja gleich oben die "halbe"-Fakultät hinschreiben.
> Habe ich das unglücklich aufgeschrieben und umgeformt, so
> dass es einen leichteren Weg gibt oder gibts sowas wie
> "halbe"-Fakultät (ungerade/gerade)?
Der "einfachere Weg" ist einfach die Kenntnis einer geeignet verallgemeinerten Form des "binomischen Lehrsatzes". Dann gilt nämlich:
[mm]\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\left(1+x\right)^{-1/2}=\sum\limits_{n=0}^\infty \binom{-1/2}{n} x^n[/mm]
Wobei eben gerade
[mm]\binom{-1/2}{n} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}-1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-(n-1)\right)}{1\cdot 2\cdots n}[/mm]
Gut, dies ist nur mal eine Abkürzung für einen Term, den Du dann letztlich vielleicht doch auf etwas andere Weise konkret ausrechnen magst.
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