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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 04.11.2007 | | Autor: | kobeb24 |
| Aufgabe | Zeige ohne den Satz von Cayley-Hamilton, dass es zu jedem Endomorphismus f eines endlich erzeugten K-Vektorraumes V eine natürliche Zahl N und [mm] (a_{0} [/mm] , ..., [mm] a_{N}) \in K^{N+1} \setminus [/mm] {0} so gibt, dass
[mm] a_{0}f^{0} [/mm] + [mm] a_{1}f^{1} [/mm] + ... + [mm] a_{N}f^{N} [/mm] = 0
gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich weiss nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll. Folgendes kann man aus der Aufgabenstellung ziehen.
dim V = n (z.B.)
[mm] f^{0} [/mm] = id (haben wir so definiert in der vorlesung)
Muss ich nun zeigen, dass { [mm] f^{0}, [/mm] ... , [mm] f^{N} [/mm] } linear abhängig ist?
Also dass sich jedes Element dieser Menge aus den anderen linear kombinieren lässt? Daraus würde ja folgen dass es [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 gibt mit [mm] \summe_{i=0}^{N} a_{i}f^{i} [/mm] = 0
Danke schonmal für die Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 04.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeige ohne den Satz von Cayley-Hamilton, dass es zu jedem
> Endomorphismus f eines endlich erzeugten K-Vektorraumes V
> eine natürliche Zahl N und [mm](a_{0}[/mm] , ..., [mm]a_{N}) \in K^{N+1} \setminus[/mm]
> {0} so gibt, dass
>
> [mm]a_{0}f^{0}[/mm] + [mm]a_{1}f^{1}[/mm] + ... + [mm]a_{N}f^{N}[/mm] = 0
>
> gilt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Also ich weiss nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.
> Folgendes kann man aus der Aufgabenstellung ziehen.
>
> dim V = n (z.B.)
> [mm]f^{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= id (haben wir so definiert in der vorlesung)
>
> Muss ich nun zeigen, dass { [mm]f^{0},[/mm] ... , [mm]f^{N}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} linear
> abhängig ist?
Ja. Dazu musst du $N$ gross genug waehlen.
Was weisst du ueber die Endomorphismen von $V$? Diese bilden ebenfalls einen Vektorraum. Ist er endlich erzeugt? Wenn ja, hilft dir das vielleicht weiter? (Die Endomorphismen $f^0, f^1, f^2, \dots, f^N$ sind ja Elemente in diesem.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mi 07.11.2007 | | Autor: | kobeb24 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 07.11.2007 | | Autor: | kobeb24 |
Hallo!
Meinst du damit den Vektorraum Hom(V,V)? Der sollte schon endlich erzeugt sein, da V endlich erzeugt ist (wenn dim V = n => dim Hom(V,V) = n ?)
Wenn ich drüber nachdenke, könnte man eine Basis von Hom(V,V) suchen, deren Dimension kleiner als N ist. Also soll heissen dass N Elemente aus dem Vektorraum immer linear abhängig sind, falls N > n (= dim Hom (V,V) ). Weiss jetzt grad nur nicht wie ich da dran gehen soll ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Meinst du damit den Vektorraum Hom(V,V)? Der sollte schon
> endlich erzeugt sein, da V endlich erzeugt ist
das stimmt...
> (wenn dim V
> = n => dim Hom(V,V) = n ?)
... das wiederum nicht. überlege dir, dass du diese homomorphismen mit matrizen identifizieren kannst (nach wahl einer basis). wie sehen diese matrizen aus, wenn [mm] $\dim_K [/mm] V = n$? wieviel einträge kann man also unabhängig voneinander wählen?
> Wenn ich drüber nachdenke, könnte man eine Basis von
> Hom(V,V) suchen, deren Dimension kleiner als N ist.
das ist genau die falsche richtung. die dimension von [mm] $\textrm{Hom}_K(V, [/mm] V)$ liegt doch fest, sobald $V$ festliegt. aber etwas anderes ist variabel, nämlich $N$. vielleicht kann man dies geeignet wählen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 07.11.2007 | | Autor: | kobeb24 |
Hallo, danke für die schnelle Antwort.
Also ich weiss nicht recht, vielleicht meine ich ja das selbe.
Wenn man N größer wählt als die Dimension von Hom(V,V), dann sollten doch N (ungleiche) Elemente aus Hom(V,V) immer linear abhängig sein. Komme grad nur nicht drauf, wie man dies beweist ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich weiss nicht recht, vielleicht meine ich ja das
> selbe.
ja, denke ich schon.
> Wenn man N größer wählt als die Dimension von Hom(V,V),
> dann sollten doch N (ungleiche) Elemente aus Hom(V,V) immer
> linear abhängig sein. Komme grad nur nicht drauf, wie man
> dies beweist ...
das gilt doch ganz allgemein und die voraussetzung "ungleiche elemente" brauchst du gar nicht.
sei $V$ ein $K$-vektorraum mit $d := [mm] \dim_K [/mm] V < [mm] \infty$ [/mm] und $N > d$ dann sind $N$ beliebige elemente [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_N \in [/mm] V$ linear abhängig in $V$.
wären die [mm] $v_i$ [/mm] linear unabhängig, dann lassen sich diese nach dem basisergänzungssatz zu einer basis [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_N, v_{N + 1}, [/mm] ..., [mm] v_{N + k} \; [/mm] (k [mm] \geq [/mm] 0)$ von $V$ ergänzen. da aber die dimension von $V$ gerade die länge einer (und damit jeder) basis von $V$ ist gilt dann [mm] $\dim_K [/mm] V = N + k [mm] \geq [/mm] N > d = [mm] \dim_K [/mm] V$. widerspruch.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | kobeb24 |
Vielen Dank!
Nur damit ich das jetzt richtig verstanden habe.
(dim Hom (V,W) = dim V * dim W
Gilt dann auch dim Hom (V,V) = dim V * dim V ? )
Da f ein Endomorphismus ist, gilt [mm] f^{i} \in [/mm] Hom (V,V)
Sei dim Hom (V,V) = n < [mm] \infty [/mm] und N > n
(dim Hom (V,V) endlich, da dim V endlich.)
Es gilt [mm] \summe_{i=1}^{N} a_{i} f^{i} [/mm] = 0 , [mm] a_{i} \not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f^{i} [/mm] linear abhängig.
Wären [mm] f^{i} [/mm] , i=1,...,N linear unabhängig, so könnte man sie per Basisergänzungsatz zu einer Basis [mm] f^{0}, f^{1}, [/mm] ... , [mm] f^{N}, f^{N+1}, [/mm] ... , [mm] f^{N+k} [/mm] ergänzen.
[mm] \Rightarrow [/mm] dim Hom (V,V) = N+k [mm] \ge [/mm] N > n = dim Hom (V,V) Widerspruch
[mm] \Rightarrow f^{i} [/mm] , i=1,...,N linear abhängig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also prinzipiell stimmt das argument, man sollte allerdings einige sachen noch etwas korrekter formulieren.
> (dim Hom (V,W) = dim V * dim W
> Gilt dann auch dim Hom (V,V) = dim V * dim V ? )
ja, genau.
> Da f ein Endomorphismus ist, gilt [mm]f^{i} \in[/mm] Hom (V,V)
>
> Sei dim Hom (V,V) = n < [mm]\infty[/mm] und N > n
> (dim Hom (V,V) endlich, da dim V endlich.)
>
>
> Es gilt [mm]\summe_{i=1}^{N} a_{i} f^{i}[/mm] = 0 , [mm]a_{i} \not=0[/mm]
es reicht, wenn eines der [mm] $a_i \not= [/mm] 0$.
> [mm]\Rightarrow f^{i}[/mm] linear abhängig.
>
>
> Wären [mm]f^{i}[/mm] , i=1,...,N linear unabhängig, so könnte man
> sie per Basisergänzungsatz zu einer Basis [mm]f^{0}, f^{1},[/mm] ...
> , [mm]f^{N}, f^{N+1},[/mm] ... , [mm]f^{N+k}[/mm] ergänzen.
hier ergänzt man mit allgemeinen elementen, man sollte also nicht mit [mm] $f^k$' [/mm] ergänzen (das sind ja ganz spezielle elemente - so lassen sich im allgemeinen nicht alle homomorphismen darstellen), sondern mit [mm] $g_k$'s [/mm] welche beliebige homomorphismen sind.
grüße
andreas
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