Endomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 03.01.2012 | | Autor: | md10 |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und [mm] \varphi [/mm] ein Endomorphismus von V. Die Abbildung [mm] \varphi [/mm] erfülle [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] auf V. Zeigen Sie dass dann gilt:
(a) [mm] \varphi |Bild(\varphi) [/mm] = [mm] id_{Bild(\varphi)}
[/mm]
(b) V = [mm] Bild(\varphi) [/mm] + [mm] Kern(\varphi) [/mm] und [mm] Bild(\varphi) \cap Kern(\varphi) [/mm] = {0}
Gilt (a) für beliebige Endomorphismen? Ergibt sich umgekehrt aus (b), dass [mm] \varphi [/mm] die Bedingung [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] erfüllt? |
zu (a):
Wegen dem Endomorphismus gilt ja
(1) [mm] \varphi(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \varphi(v_1) [/mm] + [mm] \varphi(v_2)
[/mm]
Außerdem gilt ja:
(2) [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm]
nun war meine Lösung dass es für diese zwei Bedingungen zwei Lösungen gibt:
wenn [mm] \varphi [/mm] bijektiv ist sieht man aus (2), dass [mm] \varphi [/mm] = [mm] id_v [/mm] somit wäre es in diesem Fall bereits gezeigt.
Wenn [mm] \varphi [/mm] nicht bijektiv ist habe ich mir überlegt, dass dann aus (1) und (2) folgt, dass [mm] \varphi [/mm] = 0. Dies wäre aber noch zu zeigen und ich habe keine Ahnung wie man das machen könnte. In diesem Fall wäre (a) auch gezeigt oder?
Meine weitere Überlegung war, dass man dann vielleicht sagen kann dass [mm] \varphi [/mm] in einem eingeschräkten Bereich bijektiv wäre und ansonsten nicht und dass somit (a) für alle Fälle gilt.
So würde (a) ja nur für Endomorphismen gelten bei denen [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] weil man diese Bedingung ja benötigt.
zu (b):
meine Überlegungen zu (b) bauen auf (a) auf:
wegen [mm] \varphi|Bild( \varphi) [/mm] = [mm] id_{Bild(\varphi)}
[/mm]
und [mm] \varphi|V\backslash Bild(\varphi) [/mm] = 0
kann man dann ja direkt sagen sagen dass (b) gilt oder?
Ob aus (b) folgt [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] weiß ich noch nicht.
Wäre wirklich dankbar für eure Hilfe
achja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und [mm]\varphi[/mm] ein
> Endomorphismus von V. Die Abbildung [mm]\varphi[/mm] erfülle
> [mm]\varphi[/mm] o [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] auf V. Zeigen Sie dass dann
> gilt:
>
> (a) [mm]\varphi |Bild(\varphi)[/mm] = [mm]id_{Bild(\varphi)}[/mm]
> (b) V = [mm]Bild(\varphi)[/mm] + [mm]Kern(\varphi)[/mm] und [mm]Bild(\varphi) \cap Kern(\varphi)[/mm]
> = {0}
>
> Gilt (a) für beliebige Endomorphismen? Ergibt sich
> umgekehrt aus (b), dass [mm]\varphi[/mm] die Bedingung [mm]\varphi[/mm] o
> [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] erfüllt?
> zu (a):
> Wegen dem Endomorphismus gilt ja
> (1) [mm]\varphi(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\varphi(v_1)[/mm] + [mm]\varphi(v_2)[/mm]
> Außerdem gilt ja:
> (2) [mm]\varphi[/mm] o [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm]
>
> nun war meine Lösung dass es für diese zwei Bedingungen
> zwei Lösungen gibt:
> wenn [mm]\varphi[/mm] bijektiv ist sieht man aus (2), dass
> [mm]\varphi[/mm] = [mm]id_v[/mm] somit wäre es in diesem Fall bereits
> gezeigt.
> Wenn [mm]\varphi[/mm] nicht bijektiv ist habe ich mir überlegt,
> dass dann aus (1) und (2) folgt, dass [mm]\varphi[/mm] = 0. Dies
> wäre aber noch zu zeigen und ich habe keine Ahnung wie man
> das machen könnte. In diesem Fall wäre (a) auch gezeigt
> oder?
>
> Meine weitere Überlegung war, dass man dann vielleicht
> sagen kann dass [mm]\varphi[/mm] in einem eingeschräkten Bereich
> bijektiv wäre und ansonsten nicht und dass somit (a) für
> alle Fälle gilt.
>
> So würde (a) ja nur für Endomorphismen gelten bei denen
> [mm]\varphi[/mm] o [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] weil man diese Bedingung ja
> benötigt.
>
ehrlich gesagt kann ich deiner argumentation kaum folgen. meiner erfahrung nach bietet es sich bei solchen aufgaben an, sehr nah an den definitionen zu bleiben.
nimm also die a)
zu zeigen ist doch, dass für [mm] $z\in bild(\varphi)$ [/mm] gilt: [mm] $\varphi(z)=z$. [/mm] Da [mm] $z\in bild(\varphi)$, [/mm] gibt es ein [mm] $v\in V:\varphi(v)=z$
[/mm]
Nach voraussetzung ist aber [mm] $\varphi(z)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(v)=z$
[/mm]
erledigt. keine fallunterscheidungen nötig.
>
> zu (b):
>
> meine Überlegungen zu (b) bauen auf (a) auf:
> wegen [mm]\varphi|Bild( \varphi)[/mm] = [mm]id_{Bild(\varphi)}[/mm]
> und [mm]\varphi|V\backslash Bild(\varphi)[/mm] = 0
> kann man dann ja direkt sagen sagen dass (b) gilt oder?
>
kann ich nicht nachvollziehen.
zeige doch formal, dass die schnittmenge aus bild und kern nur die null enthalten kann. am besten durch einen indirekten beweis.
annahme, dass es nicht so ist und ein v ungleich null in dieser schnittmenge ist:
[mm] $\exists z\in [/mm] V: [mm] \varphi(z)=0$ [/mm] und [mm] $\exists v\in [/mm] V: [mm] z=\varphi(v)$ [/mm] und [mm] $z\ne [/mm] 0$
dann ist aber
[mm] $0=\varphi(z)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(v)=z$
[/mm]
siehst du den widerspruch zur annahme?
dass V direkte summe aus bild und kern ist, ergibt sich aus der dimensionsformel und dem rangsatz.
> Ob aus (b) folgt [mm]\varphi[/mm] o [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] weiß ich noch
> nicht.
>
>
schau dir doch mal bijektive endomorphismen an, also automorphismen. für diese ist [mm] $bild(\varphi)=V$ [/mm] und [mm] $kern(\varphi)=\{0\}$. [/mm] (b) ist für automorphismen also erfüllt, wie sieht es mit (a) aus?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 03.01.2012 | | Autor: | md10 |
Super, danke für die Antwort - so einfach kanns sein :)
> Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und $ [mm] \varphi [/mm] $ ein
> Endomorphismus von V. Die Abbildung $ [mm] \varphi [/mm] $ erfülle
> $ [mm] \varphi [/mm] $ o $ [mm] \varphi [/mm] $ = $ [mm] \varphi [/mm] $ auf V. Zeigen Sie dass dann
> gilt:
>
> (a) $ [mm] \varphi |Bild(\varphi) [/mm] $ = $ [mm] id_{Bild(\varphi)} [/mm] $
> (b) V = $ [mm] Bild(\varphi) [/mm] $ + $ [mm] Kern(\varphi) [/mm] $ und $ [mm] Bild(\varphi) \cap Kern(\varphi) [/mm] $
> = {0}
>
> Gilt (a) für beliebige Endomorphismen? Ergibt sich
> umgekehrt aus (b), dass $ [mm] \varphi [/mm] $ die Bedingung $ [mm] \varphi [/mm] $ o
> $ [mm] \varphi [/mm] $ = $ [mm] \varphi [/mm] $ erfüllt?
nun noch zur Frage ob aus (a) für beliebige Endomorphismen gilt:
nein, da der Beweis von (a) $ [mm] \varphi(z)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(v)=z [/mm] $ nur erfüllt ist mit $ [mm] \varphi [/mm] o [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] $
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> Super, danke für die Antwort - so einfach kanns sein :)
>
> > Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und [mm]\varphi[/mm] ein
> > Endomorphismus von V. Die Abbildung [mm]\varphi[/mm] erfülle
> > [mm]\varphi[/mm] o [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] auf V. Zeigen Sie dass dann
> > gilt:
> >
> > (a) [mm]\varphi |Bild(\varphi)[/mm] = [mm]id_{Bild(\varphi)}[/mm]
> > (b) V = [mm]Bild(\varphi)[/mm] + [mm]Kern(\varphi)[/mm] und [mm]Bild(\varphi) \cap Kern(\varphi)[/mm]
>
> > = {0}
> >
> > Gilt (a) für beliebige Endomorphismen? Ergibt sich
> > umgekehrt aus (b), dass [mm]\varphi[/mm] die Bedingung [mm]\varphi[/mm] o
> > [mm]\varphi[/mm] = [mm]\varphi[/mm] erfüllt?
>
> nun noch zur Frage ob aus (a) für beliebige Endomorphismen
> gilt:
> nein, da der Beweis von (a)
> [mm]\varphi(z)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(v)=z[/mm] nur erfüllt
> ist mit [mm]\varphi o \varphi = \varphi[/mm]
ja, oder du argumentierst wieder mit den automorphismen, die im allgemeinen nicht die Identität sind.
gruss
M.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 03.01.2012 | | Autor: | md10 |
ok super, Danke nochmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 03.01.2012 | | Autor: | md10 |
noch eine kurze Frage:
wir haben noch nirgends gezeigt dass gilt
>schau dir doch mal bijektive endomorphismen an, also automorphismen. für diese ist
>$ [mm] bild(\varphi)=V [/mm] $ und $ [mm] kern(\varphi)=\{0\} [/mm] $.
gibt es eine kurze möglichkeit das herzuleiten?
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Hallo md10,
> noch eine kurze Frage:
>
> wir haben noch nirgends gezeigt dass gilt
> >schau dir doch mal bijektive endomorphismen an, also
> automorphismen. für diese ist
> >[mm] bild(\varphi)=V[/mm] und [mm]kern(\varphi)=\{0\} [/mm].
>
> gibt es eine kurze möglichkeit das herzuleiten?
Na, du hast einen bijektiven Endomorphismus [mm]\varphi:V\to V[/mm]
Er ist injektiv, also [mm]\operatorname{ker}(\varphi)=\{0\}[/mm]
Ihr hattet ganz ganz sicher den Satz: "Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist (also nur den Nullvektor enthält)
Sonst kannst du diese Aussage auch sehr leicht selbst zeigen.
Außerdem ist [mm]\varphi[/mm] surjektiv, also wird der gesamte Zielbereich [mm]V[/mm] getroffen, dh. nix anderes als [mm]\operatorname{im}(\varphi)=V[/mm]
Gruß
schachuzipus
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