Endomorphimen von \IZ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme alle Homomorphismen von [mm] (\IZ,+,*) [/mm] in sich. |
Ehrlich gesagt, ich habe keine Idee, wie ich hier zum Suchen anfangen soll oder wann ich weiß, dass ich alle gefunden habe.
als Hinweis steht noch dabei: "(1) = ? beachte a = +/- (1+1+1...), a*1=a für alle a ungleich 0 aus [mm] \IZ.
[/mm]
Vielen Dank für eure hilfe!
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 30.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Vorweg:
Ich verstehe Deine Frage so, dass Du an allen Ring-Endomorphismen interessiert bist.
1) Zuerst der triviale Fall:
Bilde einfach jede ganze Zahl auf die Null ab und mache Dir klar, dass dies ein Homomorphismus ist.
2) Überleg Dir worauf 0 = 0+0 stets abgebildet werden muss.
3) Nun kannst Du davon ausgehen, dass es mindestens eine ganze Zahl a gibt, die nicht auf Null abgebildet wird.
3.1) Mit a*1=a und den Eigenschaften eines Homorphismus kannst Du dann folgern, worauf die 1 abgebildet wird.
3.2) Wenn Du weisst worauf 1 abgebildet wird, weisst Du auch worauf 1+1+1+...+1 abgebildet wird.
3.3) Aus 0 = 1 + (-1) folgerst Du schliesslich worauf -1 abgebildet wird.
Jetzt solltest Du eigentlich fertig sein.
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