Endliche Körper < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wir haben in der Vorlesung den endlichen Körper [mm] \IF_{2} [/mm] eingeführt als eine Menge [mm] $\{ 0,1 \}$ [/mm] mit folgender Definition für Addition und Multiplikation:
$0+0=0$
$0+1=1$
$1+0=1$
$1+1=0$
$0*0=0$
$0*1=0$
$1*0=0$
$1*1=1$
Und wir sagen, dass das ein Körper ist.
Und weiter sagen wir, dass alle Regeln durch die Körperaxiome erzwungen sind.
So, als erstes hab ich eine Frage zu der zweiten Aussage, nämlich, was genau mir diese Aussage sagen soll. Welche Regeln werden durch welche Körperaxiome erzwungen?
Nun zu der Aussage, dass dieses Ding ein Körper ist. Aus welcher Gleichung kann ich die neutralen Elemente der Addition/Multiplikation ablesen, es sind ja jeweils drei Gleichungen, in denen $+0$ oder $*1$ gerechnet wird.
Und was sind denn die inversen Elemente? Also eigentlich ist es bei de Addition doch so, dass das inverse Element das Element ist, das addiert zu einem Element a des Körpers als Ergebnis die $0$ liefert. Wenn ich jetzt mal bei der Addition die erste Gleichung ($0+0=0$) betrachte und die vierte ($1+1=0$), ist dann das inverse Element der $0$ die $0$ und das Inverse der $1$ die $1$?
Das ist irgendwie komisch...
LG, Nadine
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
>
> Wir haben in der Vorlesung den endlichen Körper [mm]\IF_{2}[/mm]
> eingeführt als eine Menge [mm]\{ 0,1 \}[/mm] mit folgender
> Definition für Addition und Multiplikation:
>
> [mm]0+0=0[/mm]
> [mm]0+1=1[/mm]
> [mm]1+0=1[/mm]
> [mm]1+1=0[/mm]
>
> [mm]0*0=0[/mm]
> [mm]0*1=0[/mm]
> [mm]1*0=0[/mm]
> [mm]1*1=1[/mm]
>
> Und wir sagen, dass das ein Körper ist.
>
> Und weiter sagen wir, dass alle Regeln durch die
> Körperaxiome erzwungen sind.
>
> So, als erstes hab ich eine Frage zu der zweiten Aussage,
> nämlich, was genau mir diese Aussage sagen soll. Welche
> Regeln werden durch welche Körperaxiome erzwungen?
Die Verknüpfungsregel, die oben festgelegt sind.
Die Körperaxiome besagen, dass [mm] $(\IF_2,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 sein muss, daher muss $0+0=0$ und $1+0=0+1=1$ sein.
Auch muss $1+1=0$ sein, denn was wäre, wenn $1+1=1$ wäre?
Dann wäre 1 ebenfalls neutrales Element, das kann aber nicht sein, da [mm] $1\neq [/mm] 0$ und das neutr. Element eind. ist (nämlich 0)
Damit sind keine anderen Verknüpfungen möglich.
Ebenso für [mm] $(\IF_2,\cdot{})$
[/mm]
Das muss eine abelsche Gruppe mit 1 als neutralem Element sein, dh. [mm] $1\cdot{}1=1$, $0\cdot{}1=1\cdot{}0=0$
[/mm]
Und [mm] $0\cdot{}0=0$ [/mm] ist erzwungen! Warum geht [mm] $0\cdot{}0=1$ [/mm] nicht?
>
> Nun zu der Aussage, dass dieses Ding ein Körper ist. Aus
> welcher Gleichung kann ich die neutralen Elemente der
> Addition/Multiplikation ablesen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau!
> es sind ja jeweils drei
> Gleichungen, in denen [mm]+0[/mm] oder [mm]*1[/mm] gerechnet wird.
>
> Und was sind denn die inversen Elemente? Also eigentlich
> ist es bei de Addition doch so, dass das inverse Element
> das Element ist, das addiert zu einem Element a des
> Körpers als Ergebnis die [mm]0[/mm] liefert. Wenn ich jetzt mal bei
> der Addition die erste Gleichung ([mm]0+0=0[/mm]) betrachte und die
> vierte ([mm]1+1=0[/mm]), ist dann das inverse Element der [mm]0[/mm] die [mm]0[/mm]
> und das Inverse der [mm]1[/mm] die [mm]1[/mm]?
Wie sieht's mit dem/den Inversen bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] aus?
>
> Das ist irgendwie komisch...
Wieso? 
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> Die Verknüpfungsregel, die oben festgelegt sind.
>
> Die Körperaxiome besagen, dass [mm](\IF_2,+)[/mm] eine abelsche
> Gruppe mit neutralem Element 0 sein muss, daher muss [mm]0+0=0[/mm]
> und [mm]1+0=0+1=1[/mm] sein.
>
> Auch muss [mm]1+1=0[/mm] sein, denn was wäre, wenn [mm]1+1=1[/mm] wäre?
>
> Dann wäre 1 ebenfalls neutrales Element, das kann aber
> nicht sein, da [mm]1\neq 0[/mm] und das neutr. Element eind. ist
> (nämlich 0)
>
> Damit sind keine anderen Verknüpfungen möglich.
>
> Ebenso für [mm](\IF_2,\cdot{})[/mm]
>
> Das muss eine abelsche Gruppe mit 1 als neutralem Element
> sein, dh. [mm]1\cdot{}1=1[/mm], [mm]0\cdot{}1=1\cdot{}0=0[/mm]
>
> Und [mm]0\cdot{}0=0[/mm] ist erzwungen! Warum geht [mm]0\cdot{}0=1[/mm]
> nicht?
Äh, stop, da komm ich nicht hinterher.
Gruppen und abelsche Gruppen sind noch nicht aufgetaucht.
Und nochmal zu den Regeln, die durch die Körperaxiome erzwungen werden:
Also die Regeln, die erzwungen werden, sind die acht Stück, die wir da aufgeschrieben haben, richtig?
Aber durch welche Körperaxiome werden die gezwungen?
Durch die Körperaxiome des Körpers [mm] \IR [/mm] ?
Irgendwie blick ich grad nicht durch... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
> > Nun zu der Aussage, dass dieses Ding ein Körper ist. Aus
> > welcher Gleichung kann ich die neutralen Elemente der
> > Addition/Multiplikation ablesen,
>
> genau!
>
> > es sind ja jeweils drei
> > Gleichungen, in denen [mm]+0[/mm] oder [mm]*1[/mm] gerechnet wird.
Ähm, irgendwie bin ich auch hier grade verwirrt.
Also ein Element ist ja neutrales Element, wenn ich es zu einem anderen Element dazu addiere und das andere Element kommt auch wieder raus.
Dann wäre das ja hier die $0$, weil in allen vier Gleichungen kommt das jeweils andere Element raus, wenn ich $0$ addiere.
Soweit richtig?
So, aber bei der Multiplikation, gibt es da zwei neutrale Elemente?
Weil da muss ja auch das Element am Ende wieder rauskommen, was ich mit dem neutralen Element multipliziere.
Und da ist ja in der ersten Gleichung $ [mm] 0\cdot{}0=0 [/mm] $, also $0$ das neutrale Element und in der letzten Gleichung $ [mm] 1\cdot{}1=1 [/mm] $ ist $1$ das neutrale Element.
Ist das so richtig?
> Wie sieht's mit dem/den Inversen bzgl. [mm]\cdot{}[/mm] aus?
Also das neutrale Element der Multiplikation, mit ich ein Element damit multipliziere muss das Ergebnis die $1$ sein, also bei "normalen" Körpern. Also muss quasi dasa neutrale Element rauskommen. Aber nun hab ich ja oben zwei neutrale Elemente gefunden ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Nadine,
> Hallo schachuzipus!
>
> > Die Verknüpfungsregel, die oben festgelegt sind.
> >
> > Die Körperaxiome besagen, dass [mm](\IF_2,+)[/mm] eine abelsche
> > Gruppe mit neutralem Element 0 sein muss, daher muss [mm]0+0=0[/mm]
> > und [mm]1+0=0+1=1[/mm] sein.
> >
> > Auch muss [mm]1+1=0[/mm] sein, denn was wäre, wenn [mm]1+1=1[/mm] wäre?
> >
> > Dann wäre 1 ebenfalls neutrales Element, das kann aber
> > nicht sein, da [mm]1\neq 0[/mm] und das neutr. Element eind. ist
> > (nämlich 0)
> >
> > Damit sind keine anderen Verknüpfungen möglich.
> >
> > Ebenso für [mm](\IF_2,\cdot{})[/mm]
> >
> > Das muss eine abelsche Gruppe mit 1 als neutralem Element
> > sein, dh. [mm]1\cdot{}1=1[/mm], [mm]0\cdot{}1=1\cdot{}0=0[/mm]
> >
> > Und [mm]0\cdot{}0=0[/mm] ist erzwungen! Warum geht [mm]0\cdot{}0=1[/mm]
> > nicht?
>
> Äh, stop, da komm ich nicht hinterher.
> Gruppen und abelsche Gruppen sind noch nicht aufgetaucht.
>
> Und nochmal zu den Regeln, die durch die Körperaxiome
> erzwungen werden:
> Also die Regeln, die erzwungen werden, sind die acht
> Stück, die wir da aufgeschrieben haben, richtig?
> Aber durch welche Körperaxiome werden die gezwungen?
> Durch die Körperaxiome des Körpers [mm]\IR[/mm] ?
> Irgendwie blick ich grad nicht durch...
ich tippe mal auf das Distributivgesetz 
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Nadine,
es war doch [mm] 1+1=\red{0}
[/mm]
also ist [mm] 0*\red{0}=0*(1+1)=0*1+0*1=0+0=0
[/mm]
nu besser?
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hmm, weiß noch nicht...
Ich mag diese seltsamen Körper nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus!
>
> > Die Verknüpfungsregel, die oben festgelegt sind.
> >
> > Die Körperaxiome besagen, dass [mm](\IF_2,+)[/mm] eine abelsche
> > Gruppe mit neutralem Element 0 sein muss, daher muss [mm]0+0=0[/mm]
> > und [mm]1+0=0+1=1[/mm] sein.
> >
> > Auch muss [mm]1+1=0[/mm] sein, denn was wäre, wenn [mm]1+1=1[/mm] wäre?
> >
> > Dann wäre 1 ebenfalls neutrales Element, das kann aber
> > nicht sein, da [mm]1\neq 0[/mm] und das neutr. Element eind. ist
> > (nämlich 0)
> >
> > Damit sind keine anderen Verknüpfungen möglich.
> >
> > Ebenso für [mm](\IF_2,\cdot{})[/mm]
> >
> > Das muss eine abelsche Gruppe mit 1 als neutralem Element
> > sein, dh. [mm]1\cdot{}1=1[/mm], [mm]0\cdot{}1=1\cdot{}0=0[/mm]
> >
> > Und [mm]0\cdot{}0=0[/mm] ist erzwungen! Warum geht [mm]0\cdot{}0=1[/mm]
> > nicht?
>
> Äh, stop, da komm ich nicht hinterher.
> Gruppen und abelsche Gruppen sind noch nicht aufgetaucht.
Ja wie?? Wie sind denn die Körperaxiome bei euch eingeführt worden?
Das ist ja son ganzer Haufen Zeugs, der sich zusammenfassen lässt zu:
1) [mm] $(\IK,+)$ [/mm] ist abelsche Gruppe mit neutr. Element 0
2) [mm] $(\IK\setminus\{0\},\cdot{})$ [/mm] ist abelsche Gruppe
3) Es gelten die Distributivgesetze
>
> Und nochmal zu den Regeln, die durch die Körperaxiome
> erzwungen werden:
> Also die Regeln, die erzwungen werden, sind die acht
> Stück, die wir da aufgeschrieben haben, richtig?
Wenn du einen Körper mit zwei Elementen 0,1 erzeugen willst, in dem 0 neutral bzgl. + und 1 neutral bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] ist, so hast du keine andere Wahl für die Verknüpfungen der Körperelemente als diejenige, die oben hingeschrieben wurde
> Aber durch welche Körperaxiome werden die gezwungen?
Hier Hauptsächlich durch das Kommutativgesetz und die Eindeutigkeit des Inversen ...
> Durch die Körperaxiome des Körpers [mm]\IR[/mm] ?
Ganz allg. durch die Körperaxiome für einen bel. Körper
> Irgendwie blick ich grad nicht durch...
>
>
>
> > > Nun zu der Aussage, dass dieses Ding ein Körper ist. Aus
> > > welcher Gleichung kann ich die neutralen Elemente der
> > > Addition/Multiplikation ablesen,
> >
> > genau!
> >
> > > es sind ja jeweils drei
> > > Gleichungen, in denen [mm]+0[/mm] oder [mm]*1[/mm] gerechnet wird.
>
> Ähm, irgendwie bin ich auch hier grade verwirrt.
> Also ein Element ist ja neutrales Element, wenn ich es zu
> einem anderen Element dazu addiere und das andere Element
> kommt auch wieder raus.
> Dann wäre das ja hier die [mm]0[/mm],
bzgl. +, ja!
> weil in allen vier
> Gleichungen kommt das jeweils andere Element raus, wenn ich
> [mm]0[/mm] addiere.
> Soweit richtig?
eben
>
> So, aber bei der Multiplikation, gibt es da zwei neutrale
> Elemente?
Nein, die gibt es in Gruppen (und das ist [mm] $(\IF_2,\cdot{})$) [/mm] ist das neutrale Element immer eindeutig!
> Weil da muss ja auch das Element am Ende wieder
> rauskommen, was ich mit dem neutralen Element
> multipliziere.
> Und da ist ja in der ersten Gleichung [mm]0\cdot{}0=0 [/mm], also [mm]0[/mm]
> das neutrale Element und in der letzten Gleichung
> [mm]1\cdot{}1=1[/mm] ist [mm]1[/mm] das neutrale Element.
> Ist das so richtig?
Nein, wenn du ein beliebiges Element hernimmst und das neutrale Element damit verknüpfst (oder umgekehrt (Kommutativität)), so muss das Element wieder rauskommen.
Wenn 0 neutral bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] wäre, so müsste sowohl [mm] $0\cdot{}0=0$ [/mm] sein (was passt) als auch [mm] $0\cdot{}1=1\cdot{}0=1$ [/mm] sein, was nicht hinhaut.
Anders ist's mit der 1, da gilt sowohl [mm] $1\cdot{}1=1$ [/mm] als auch [mm] $1\cdot{}0=0\cdot{}1=0$, [/mm] es kommt also jeweils das Element heraus, das du mit 1 verknüpfst
>
>
>
> > Wie sieht's mit dem/den Inversen bzgl. [mm]\cdot{}[/mm] aus?
>
> Also das neutrale Element der Multiplikation, mit ich ein
> Element damit multipliziere muss das Ergebnis die [mm]1[/mm] sein,
> also bei "normalen" Körpern.
Welche Körper sind denn unnormal?
Welches Bsp. schwebt dir vor, wo es nicht passen sollte?
> Also muss quasi dasa neutrale
> Element rauskommen. Aber nun hab ich ja oben zwei neutrale
> Elemente gefunden
Nein, siehe oben: 0 ist keines (bzgl. cdot{})
>
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
Danke für deine Hilfe.
Ich denke, dass hab ich soweit verstanden.
Aber da kommt gleich noch was komisches, Division mit Rest, ich befürchte, damit muss ich euch bestimmt auch noch nerven
> Ja wie?? Wie sind denn die Körperaxiome bei euch
> eingeführt worden?
Definition:
Ein Körper besteht aus einer Menge $K$ mit zwei Abbildungen
a) [mm] $+:K\times K\to [/mm] K$
b) [mm] $*:K\times K\to [/mm] K$
(A1) Addition und Multiplikation sind kommutativ: Für alle $a,b [mm] \in [/mm] K$:
a) $a+b=b+a$
b) $a*b=b*a$
(A2) Addition und Multiplikation sind assoziativ: Für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] K$:
a) $(a+b)+c=a+(b+c)$
b) $(a*b)*c=a*(b*c)$
(A3) Multiplikation ist distributiv bzgl. der Addition: Für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] K$: $a*(b+c)=a*b+a*c$
(A4) Es existieren Elemente $0 [mm] \in [/mm] K$ (Nullelement) und $1 [mm] \in [/mm] K$ (Einselement) mit $1 [mm] \not= [/mm] 0$ und für alle $a [mm] \in [/mm] K$:
a) $a+0=a$
b) $a*1=a$
(A5) Die folgenden Gleichungen besitzen eine eindeutige Lösung:
a) Für alle $a,b [mm] \in [/mm] K$: a+x=b
b) Für alle [mm] $a,b\in [/mm] K, [mm] a\not= [/mm] 0 $: a*x=b
---------------------------------------------------------------
Ja, so haben wir einen Körper definiert, nix mit Gruppen oder so.
(A5) find ich sowieso ganz komisch, ich kann da ehrlich gesagt nix mit einem inversen Element und so raus erkennen. Dass mit dem, dass wenn ich das Inverse anwende, und dann das neutrale erhalte, das hab ich aus einem Buch...
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Di 18.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
Du musst dich dran gewoehnen, dass in mathe etwas durch Axiome festgelegt ist. Ein Koerper ist ein mathematisches objekt was durch die Axiome, die ich jetzt nicht aufzaehle definiert ist.
Du kennst bisher einen Koerper, mt dem du schon lange umgehst, die rationalen Zahlen.
jetzt sollst du auch einfachere kennenlernen, dieser hier ist der einfachste.
dass 1 auch gleichzeitig sein additives Inverses ist, ist zwar anfangs ungewohnt, aber du hast auch frueher schon so gerechnet, naemlich mit Uhrzeiten.
12h +12h =(24h)=0h
12h+0h=12h
nur brauchst du hier gleich 23 Zahlen, und das multiplizieren von Stunden ist auch ungewohnt.
jetzt stell dir ne einfachere Welt vor mit nur 0h und 1h
dein Ziffernblatt hat also nur 2 Stellungen: oben ist 0 unten 1. und 1+1=0 findet bei der Uhr jeder normal.
Vielleicht versuchst du mal selber den Koerper [mm] F_3 [/mm] zu "erfinden.
die Elemente sind 0,1,2
1+2=0 1+1=2 2+2=1
den Rest musst du selbst machen. (Denk an die Uhr, die jetzt 3 Stellungen hat)
Wenn du das hinkriegst hast dus schon recht gut kapiert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart.
> Vielleicht versuchst du mal selber den Koerper [mm]F_3[/mm] zu
> "erfinden.
> die Elemente sind 0,1,2
> 1+2=0 1+1=2 2+2=1
> den Rest musst du selbst machen. (Denk an die Uhr, die
> jetzt 3 Stellungen hat)
> Wenn du das hinkriegst hast dus schon recht gut kapiert.
Danke für das Beispiel mit der Uhr, das ist echt gut
Ich hab jetzt folgendes:
$0+0=0$
$0+1=1$
$0+2=2$
$1+0=1$
$1+1=2$
$1+2=0$
$2+0=2$
$2+1=0$
$2+2=1$
Beim Multiplizieren war ich mir jetzt nicht so sicher.
Ich hab erst einfach mal normal multipliziert, und wenn das Ergebnis Element des Körpers ist, dann kann ich es doch so stehen lassen, oder?
Oder wenn es raus geht, dann muss ich quasi für jeden Wert drüber einen Schritt auf den Uhrstellungen vorwärtsgehen, richtig?
Also wenn ich die Uhrstellungen $0,1,2$ habe, und das Ergebnis ist eine 4, dann muss ich noch zwei Schritte auf den Uhrstellungen $0,1,2$ gehen, also bis zur $1$.
Stimmt das so?
$0*0=0$
$0*1=0$
$0*2=0$
$1*0=0$
$1*1=1$
$1*2=2$
$2*0=0$
$2*1=2$
$2*2=1(=4)$
Ist das so richtig?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
> Hallo leduart.
>
> > Vielleicht versuchst du mal selber den Koerper [mm]F_3[/mm] zu
> > "erfinden.
> > die Elemente sind 0,1,2
> > 1+2=0 1+1=2 2+2=1
> > den Rest musst du selbst machen. (Denk an die Uhr, die
> > jetzt 3 Stellungen hat)
> > Wenn du das hinkriegst hast dus schon recht gut
> kapiert.
>
> Danke für das Beispiel mit der Uhr, das ist echt gut
> Ich hab jetzt folgendes:
>
> [mm]0+0=0[/mm]
> [mm]0+1=1[/mm]
> [mm]0+2=2[/mm]
>
> [mm]1+0=1[/mm]
> [mm]1+1=2[/mm]
> [mm]1+2=0[/mm]
>
> [mm]2+0=2[/mm]
> [mm]2+1=0[/mm]
> [mm]2+2=1[/mm]
>
> Beim Multiplizieren war ich mir jetzt nicht so sicher.
> Ich hab erst einfach mal normal multipliziert, und wenn
> das Ergebnis Element des Körpers ist, dann kann ich es
> doch so stehen lassen, oder?
> Oder wenn es raus geht, dann muss ich quasi für jeden
> Wert drüber einen Schritt auf den Uhrstellungen
> vorwärtsgehen, richtig?
Wie genau meinst du das?
> Also wenn ich die Uhrstellungen [mm]0,1,2[/mm] habe, und das
> Ergebnis ist eine 4, dann muss ich noch zwei Schritte auf
> den Uhrstellungen [mm]0,1,2[/mm] gehen, also bis zur [mm]1[/mm].
> Stimmt das so?
Auch das verstehe ich nicht so ganz.
Du musst doch bildlich gesehen Vielfache von 3 weiter- oder zurückspringen bis du wieder auf 0,1 oder 2 landest
Wenn dein "Ergebnis" aus [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] herauskommt, dann berechnest du den Rest bei Division des Ergebnisses durch 3 (modulo 3)
>
> [mm]0*0=0[/mm]
> [mm]0*1=0[/mm]
> [mm]0*2=0[/mm]
>
> [mm]1*0=0[/mm]
> [mm]1*1=1[/mm]
> [mm]1*2=2[/mm]
>
> [mm]2*0=0[/mm]
> [mm]2*1=2[/mm]
> [mm]2*2=1(=4)[/mm]
Genau!
Denn 4 lässt bei Division durch 3 den Rest 1, also ist [mm] $4\equiv [/mm] 1 \ [mm] (\mod [/mm] 3)$
>
> Ist das so richtig?
Ja, passt!
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 23.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich glaube, so langsam komm ich mit dem Thema etwas besser klar.
Aber nun bin ich schon wieder auf eine Aussage gestoßen, die ich absolut nicht verstehe.
Dazu hab ich hier erstmal die Definition eines Teilkörpers:
Es sei $K$ ein Körper. Eine Teilmenge $L [mm] \subset [/mm] K$ heißt ein Teilkörper von $K$, wenn gilt:
(a) $a,b [mm] \in [/mm] L [mm] \Rightarrow [/mm] a+b,a*b [mm] \in [/mm] L$
(b) $0,1 [mm] \in [/mm] L$
(c) $a [mm] \in [/mm] L [mm] \Rightarrow [/mm] -a [mm] \in [/mm] L$
(d) $a [mm] \in [/mm] L, [mm] a\not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] L$
So, und nun kommt die Aussage, die ich nicht verstehe:
Natürlich ist [mm] $\IF_{2}$ [/mm] kein Teilkörper von [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IR [/mm] , denn es gilt $2*1=1+1=0$, wobei $2$ als natürliche Zahl, aber nicht als Element von [mm] $\IF_{2}$ [/mm] aufzufassen ist.
Ich verstehe das Argument nicht.
Ich mein, der Punkt (3) ist sicherlich verletzt, weil $-1$ kein Element von [mm] $\IF_{2}$ [/mm] ist, aber dieses Argement mit der Multiplikation, das versteh ich überhaupt nicht. Welcher Punkt von (a) - (d) soll damit gemeint sein?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
> Natürlich ist [mm]\IF_{2}[/mm] kein Teilkörper von [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IR[/mm] ,
> denn es gilt [mm]2*1=1+1=0[/mm], wobei [mm]2[/mm] als natürliche Zahl, aber
> nicht als Element von [mm]\IF_{2}[/mm] aufzufassen ist.
Hallo,
wenn man von Teilkörper spricht, muß nicht nur die Menge eine Teilmenge des Körpers sein, es müssen auch die zugrundeliegenden Verknüpfungen dieselben sein.
Da oben will man Dir wohl zeigen, daß das nicht der Fall ist:
im [mm] \IR [/mm] ist [mm] 1+1=2\not=0, [/mm] im [mm] \IF_2 [/mm] ist 1+1=0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mo 24.08.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Nadine,
ergänzend zu Angelas Bemerkung:
[mm] \IF_2 [/mm] ist auch deswegen im strengen Sinne kein Teilkörper, weil er/sie/es keine Teilmenge ist. Genauer müßte es heißen, daß es in [mm] \IQ [/mm] auch keinen zu [mm] \IF_2 [/mm] isomorphen Teilkörper gibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
> Hallo Nadine,
>
> ergänzend zu Angelas Bemerkung:
>
> [mm]\IF_2[/mm] ist auch deswegen im strengen Sinne kein Teilkörper,
> weil er/sie/es keine Teilmenge ist. Genauer müßte es
> heißen, daß es in [mm]\IQ[/mm] auch keinen zu [mm]\IF_2[/mm] isomorphen
> Teilkörper gibt.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Hallo Dieter,
Wenn man [mm] \IF_2 [/mm] als bloße Menge (ohne Operationen)
betrachtet, ist doch sehr wohl
[mm] $\IF_2=\{0,1\}\subset\IQ$
[/mm]
Gruß Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mo 24.08.2009 | | Autor: | statler |
Werter Herr Kollege !
> Wenn man [mm]\IF_2[/mm] als bloße Menge (ohne Operationen)
> betrachtet, ist doch sehr wohl
>
> [mm]\IF_2=\{0,1\}\subset\IQ[/mm]
Dann hast du bereits [mm] \IF_2 [/mm] als Menge isomorph d. h. bijektiv in [mm] \IQ [/mm] eingebettet. Nun habe ich die lästige Eigenart, die Elemente von [mm] \IF_2 [/mm] immer a und b zu nennen, was nicht verboten ist. Ist damit mein [mm] \IF_2 [/mm] zwar nicht in [mm] \IQ, [/mm] aber Teilmenge des deutschen Alphabets?
Im Ernst: Für Anfänger oder Leute, die noch unsicher sind, sollte man (imho) die Elemente von Restklassengebilden auch als Restklasse hinschreiben, also [mm] \overline{a} [/mm] oder a + [mm] 2\IZ, [/mm] das vermeidet die von uns entdeckte Ambivalenz.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
> Werter Herr Kollege !
>
> > Wenn man [mm]\IF_2[/mm] als bloße Menge (ohne Operationen)
> > betrachtet, ist doch sehr wohl
> >
> > [mm]\IF_2=\{0,1\}\subset\IQ[/mm]
>
> Dann hast du bereits [mm]\IF_2[/mm] als Menge isomorph d. h.
> bijektiv in [mm]\IQ[/mm] eingebettet. Nun habe ich die lästige
> Eigenart, die Elemente von [mm]\IF_2[/mm] immer a und b zu nennen,
> was nicht verboten ist. Ist damit mein [mm]\IF_2[/mm] zwar nicht in
> [mm]\IQ,[/mm] aber Teilmenge des deutschen Alphabets?
>
> Im Ernst: Für Anfänger oder Leute, die noch unsicher
> sind, sollte man (imho) die Elemente von
> Restklassengebilden auch als Restklasse hinschreiben, also
> [mm]\overline{a}[/mm] oder a + [mm]2\IZ,[/mm] das vermeidet die von uns
> entdeckte Ambivalenz.
>
> Gruß
> Dieter
>
Hallo Dieter,
Als bloße Menge betrachtet ist [mm] \IF_2 [/mm] nur eine Menge
mit genau zwei Elementen. Wie man diese bezeichnen
will, ist einerlei. Man muss die Elemente von [mm] \IF_2 [/mm] auch
nicht als Restklassen verstehen.
Wenn man will, kann man auch einer Menge von
Buchstaben eine mathematische Struktur aufprägen:
[mm] M=\{a,b\} [/mm] mit [mm] a\not=b
[/mm]
[mm] {+}_M [/mm] : a+a=a, a+b=b, b+a=b, b+b=a
[mm] \*_M [/mm] : a*a=a, a*b=a, b*a=a, b*b=b
Dann ist (M , [mm] {+}_M [/mm] , [mm] \*_M) [/mm] isomorph zu [mm] (\IF_2 [/mm] , [mm] +_{\IF_2} [/mm] , [mm] \*_{\IF_2})
[/mm]
lieben Gruß
Al
|
|
|
| |
|
> Hallo zusammen.
>
> Ich glaube, so langsam komm ich mit dem Thema etwas besser
> klar.
>
> Aber nun bin ich schon wieder auf eine Aussage gestoßen,
> die ich absolut nicht verstehe.
>
> Dazu hab ich hier erstmal die Definition eines
> Teilkörpers:
>
> Es sei [mm]K[/mm] ein Körper. Eine Teilmenge [mm]L \subset K[/mm] heißt ein
> Teilkörper von [mm]K[/mm], wenn gilt:
> (a) [mm]a,b \in L \Rightarrow a+b,a*b \in L[/mm]
> (b) [mm]0,1 \in L[/mm]
>
> (c) [mm]a \in L \Rightarrow -a \in L[/mm]
> (d) [mm]a \in L, a\not= 0 \Rightarrow a^{-1} \in L[/mm]
>
> So, und nun kommt die Aussage, die ich nicht verstehe:
>
> Natürlich ist [mm]\IF_{2}[/mm] kein Teilkörper von [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IR[/mm] ,
> denn es gilt [mm]2*1=1+1=0[/mm], wobei [mm]2[/mm] als natürliche Zahl, aber
> nicht als Element von [mm]\IF_{2}[/mm] aufzufassen ist.
>
> Ich verstehe das Argument nicht.
>
> Ich mein, der Punkt (3) ist sicherlich verletzt, weil [mm]-1[/mm]
> kein Element von [mm]\IF_{2}[/mm] ist, aber dieses Argument mit der
> Multiplikation, das versteh ich überhaupt nicht. Welcher
> Punkt von (a) - (d) soll damit gemeint sein?
Sicher der Punkt (a). Dass da vom Produkt 2*1 gesprochen
wird, ist aber eher verwirrend, da die 2 ja gar nicht zu [mm] \IF
[/mm]
gehört. Gemeint ist einfach die Addition 1+1 , einerseits
als Addition [mm] 1+_{\IQ}1 [/mm] in [mm] \IQ [/mm] und andererseits als Addition
[mm] 1+_{\IF}1 [/mm] in [mm] \IF [/mm] betrachtet.
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
in der obigen Definition des Begriffs eines Teilkörpers
ist wichtig, dass mit den darin vorkommenden Operationen
stets die im Körper K definierten Operationen sind.
Im vorliegenden Beispiel mit [mm] K=\IQ [/mm] und [mm] L=\IF [/mm] könnte man
z.B. schreiben:
[mm] $1+_{\IQ}1\ [/mm] =\ 2$
[mm] $1+_{\IF}1\ [/mm] =\ 0$
Wegen [mm] 2\not=0 [/mm] (in [mm] \IQ) [/mm] ist also [mm] +_{\IF}\not=+_{\IQ}
[/mm]
Im Gegensatz dazu ist die Multiplikation in [mm] \IF [/mm] aber sehr
wohl mit jener in [mm] \IQ [/mm] kompatibel, also [mm] \*_{\IF}=\*_{\IQ}
[/mm]
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für die Erklärung, ich denke, das hab ich verstanden.
LG, Nadine
|
|
|
|
