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Halllo matheraum!
Ich lese mir gerade die Theorie Elliptischer Funktionen an. Ein echt schönes Thema! Nach der Weierstrass [mm] \wp-Funktion [/mm] gelangt der Freitag/Busam, an dem ich mich orientiere, zu elliptischen Integralen und den Additionstheoremen. Leider finde ich diese Teile ziemlich unklar geschrieben und habe einige Fragezeichen bei mir stehen.
Ich fange mal beim Additionstheorem der [mm] \wp-Funktion [/mm] an. Den ersten Beweis (4.1., falls jemand das Buch da hat) verstehe ich gar nicht. Aber es gibt noch weitere, die ich lieber verstehen würde.
Es wird im Beweis behauptet:
"Eine Gerade hat mit der (Anm: eine beliebige) elliptischen Kurve offensichtlich!! höchstens 3 Punkte gemeinsam."
Mir ist das gar nicht offentsichtlich. Geraden werden hier über den Projektiven Raum eingeführt, aber das sollte mit der normalen "mx+c"-Gerade genauso stimmen. Ist das wirklich so offensichtlich? Kann mir wer auf die Sprünge helfen?
Weiterhin heißt es, drei Punkte u, v, w lägen genau dann auf einer Gerade, falls [mm] det\pmat{1&\wp(w)&\wp'(w)\\1&\wp(v)&\wp'(v)\\1&\wp(u)&\wp'(u)}=0 [/mm] ist. Sehe ich leider auch nicht ein.
Für Ideen wäre ich echt dankbar! Sitze schon einige Tage darüber, und komme nicht recht weiter. Die nächsten Seiten gehen wieder mehr oder weniger, aber da hänge ich einfach.
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Fr 28.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich lese mir gerade die Theorie Elliptischer Funktionen
> an. Ein echt schönes Thema!
Definitiv.
> Nach der Weierstrass
> [mm]\wp-Funktion[/mm] gelangt der Freitag/Busam, an dem ich mich
> orientiere, zu elliptischen Integralen und den
> Additionstheoremen. Leider finde ich diese Teile ziemlich
> unklar geschrieben und habe einige Fragezeichen bei mir
> stehen.
> Ich fange mal beim Additionstheorem der [mm]\wp-Funktion[/mm] an.
> Den ersten Beweis (4.1., falls jemand das Buch da hat)
> verstehe ich gar nicht. Aber es gibt noch weitere, die ich
> lieber verstehen würde.
> Es wird im Beweis behauptet:
> "Eine Gerade hat mit der (Anm: eine beliebige) elliptischen
> Kurve offensichtlich!! höchstens 3 Punkte gemeinsam."
> Mir ist das gar nicht offentsichtlich. Geraden werden hier
> über den Projektiven Raum eingeführt, aber das sollte mit
> der normalen "mx+c"-Gerade genauso stimmen. Ist das
> wirklich so offensichtlich? Kann mir wer auf die Sprünge
> helfen?
Nun, setz doch mal die Geraden-Gleichung in die Kurvengleichung ein; du erhaelst ein Polynom in einer Variablen von einem Grad [mm] $\le [/mm] 3$, womit es hoechstens drei Wahlen fuer diese Varibale gibt. Da die andere Variable durch die eine bestimmt ist (durch die Geradengleichung), entsprechen die Nullstellen also genau den Schnittpunkten.
Im Projektiven geht's genauso, nur dass man da ein homogenes Polynom in zwei (von drei) Variablen von Grad 3 erhaelt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann man es als Produkt von drei homogenen Polynomen von je Grad 1 schreiben (ueber [mm] $\IC$ [/mm] zumindest), und jedes homogene Polynom von Grad 1 zusammen mit der Geradengleichung entspricht einem Punkt im projektiven Raum (genauer: man hat zwei Geraden, die sich genau in einem Punkt schneiden).
> Weiterhin heißt es, drei Punkte u, v, w lägen genau dann
> auf einer Gerade, falls
> [mm]det\pmat{1&\wp(w)&\wp'(w)\\1&\wp(v)&\wp'(v)\\1&\wp(u)&\wp'(u)}=0[/mm]
> ist. Sehe ich leider auch nicht ein.
Ein Punkt $[1 : s : t]$ liegt genau dann auf der Geraden $a z + b x + c y = 0$, wenn [mm] $\pmat{1 & s & t} \pmat{ a \\ b \\ c } [/mm] = 0$ gilt. Das alle drei Punkte $u, v, w$ auf der Geraden liegen, ist also aequivalent zu [mm] $\pmat{ 1 & \wp(w) & \wp'(w) \\ 1 & \wp(v) & \wp'(v) \\ 1 & \wp(u) & \wp'(u) } \pmat{ a \\ b \\ c } [/mm] = 0$.
Anders gesagt: es gibt genau dann eine Gerade, auf der $u, v, w$ liegen, wenn der Kern der Matrix [mm] $\pmat{ 1 & \wp(w) & \wp'(w) \\ 1 & \wp(v) & \wp'(v) \\ 1 & \wp(u) & \wp'(u) }$ [/mm] nicht-trivial ist. Das ist aber genau dann der Fall (da die Matrix quadratisch ist), wenn ihre Determinante $= 0$ ist.
LG Felix
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