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| Aufgabe | Sei [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] := [mm] {a+b\wurzel{2}; a,b \in \IQ}
[/mm]
Zeige, dass [mm] \wurzel{3} \not\in \IQ(\wurzel{2}) [/mm] und dass [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] nicht ordnungsvollstaendig ist. |
Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass [mm] \wurzel{3} \not\in \IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist! Was heißt das überhaupt? Egal was ich für a, b einsetze, es kann nie [mm] \wurzel{3} [/mm] rauskommen, oder was? Und mit der Ordnungsvollstaendigkeit hab ich auch so meine Probleme.
Kann mir jemand ein paar Denkanstöße geben?
Vielen Dank schon mal im Voraus!
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> Sei [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] := [mm]{a+b\wurzel{2}; a,b \in \IQ}[/mm]
> Zeige,
> dass [mm]\wurzel{3} \not\in \IQ(\wurzel{2})[/mm] und dass
> [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] nicht ordnungsvollstaendig ist.
> Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass [mm]\wurzel{3} \not\in \IQ(\wurzel{2})[/mm]
> ist! Was heißt das überhaupt? Egal was ich für a, b
> einsetze, es kann nie [mm]\wurzel{3}[/mm] rauskommen, oder was?
Hallo,
ja, man will zeigen, daß [mm] \wurzel{3} \not\in \IQ(\wurzel{2}).
[/mm]
Das bedeutet, für kein [mm] (a,b)\in \IQ^2 [/mm] ist [mm] \wurzel{3}=a+b\wurzel{2}.
[/mm]
Das würde ich per Widerspruch beweisen. Nimm an, es gäbe a,b mit
[mm] \wurzel{3}=a+b\wurzel{2}.
[/mm]
Das kannst Du zu einem Widerspruch führen, welcher darauf basiert, daß [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt. Am besten, Du quadrierst die Gleichung erstmal.
Und
> mit der Ordnungsvollstaendigkeit hab ich auch so meine
> Probleme.
> Kann mir jemand ein paar Denkanstöße geben?
Möglicherweise:
Ist es so, daß "ordnungsvollständig" äquivalent damit ist, daß jede nach unten beschränkte Teilmenge ein Infimum hat???
Wenn das so ist, könntest Du vielleicht die Menge aller [mm] x\in \IQ(\wurzel{2}) [/mm] betrachten mit [mm] x>\wurzel{3} [/mm] (für irgendetwas haben die doch nach [mm] \wurzel{3} [/mm] gefragt...), und zeigen, daß jedes angenommene Infimum keines ist, weil man immer noch ein Element zwischen [mm] \wurzel{3} [/mm] und dem Möchtegerninfimum findet. Ich hab's aber nicht durchgeführt, ist nur so eine Idee.
Gruß v. Angela
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