Element einer Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Angenommen ich habe eine multiplikative zyklische endliche Gruppe G=<g> der Ordnung n und ein Element a [mm] \in [/mm] G.
Es gilt ja folgender Satz: Für jeden Teiler d von n existiert genau eine UG von G mit Ordnung d.
Angenommen ich habe eine Gleichung [mm] g^x [/mm] = a. Habe ich jetzt einen Teiler d von n, dann erzeugt [mm] [/mm] ja eine UG der Ordnung d. Warum liegt dann aber eigtl. [mm] a^{n/d} [/mm] in dieser UG?
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> Hallo,
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> Angenommen ich habe eine multiplikative zyklische endliche
> Gruppe G=<g> der Ordnung n und ein Element a [mm]\in[/mm] G.
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> Es gilt ja folgender Satz: Für jeden Teiler d von n
> existiert genau eine UG von G mit Ordnung d.
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> Angenommen ich habe eine Gleichung [mm]g^x[/mm] = a.
Hallo,
Du meinst, daß es ein [mm] k\in \IZ [/mm] gibt mit [mm] g^k=a.
[/mm]
> Habe ich jetzt
> einen Teiler d von n, dann erzeugt [mm][/mm] ja eine UG der
> Ordnung d. Warum liegt dann aber eigtl. [mm]a^{n/d}[/mm] in dieser
> UG?
In der von [mm] g^{n/d} [/mm] erzeugten Untergruppe sind alle ganzzahligen Potenzen von [mm] g^{n/d}, [/mm] also auch [mm] (g^{n/d})^k=(g^k)^{n/d}=a^{n/d}.
[/mm]
Gruß v. Angela
</g>
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