Eisenstein-Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Ich soll zeigen, daß sich die Reihe
[mm] G_2(\tau)=\bruch{-1}{8 \pi^2} \summe_{m,n \in \IZ \backslash \{(0,0)\}} \bruch{1}{(m \tau + n)^{2}}
[/mm]
wie eine Modulform verhält.
Dazu habe ich in der Literatur folgendes gefunden: Betrachte
[mm] G_2^\* [/mm] = [mm] \bruch{-1}{8 \pi^2} \limes_{\epsilon \rightarrow 0} \summe_{m,n \in \IZ \backslash \{(0,0)\}} \bruch{1}{(m \tau + n)^{2} |m \tau +n|^\epsilon}
[/mm]
wobei [mm] \epsilon [/mm] von oben gegen 0 geht.
Ich soll dabei zunächst die Poissonsche Summenformel
[mm] \summe_{n \in \IZ} \phi(x+n) [/mm] = [mm] \summe_{r \in \IZ} \integral_{\IR} \phi(t) [/mm] exp(-2 [mm] \pi [/mm] i r t) dt exp(2 [mm] \pi [/mm] i r x)
anwenden, und dann den Limes [mm] \epsilon [/mm] von oben gegen 0 betrachten.
Dann, so mein Buch, sollte es ein leichtes sein, zur Fourierentwicklung von [mm] G_2^\*zu [/mm] kommen, und es gilt
[mm] G_2^\* (\tau) [/mm] = [mm] G_2 (\tau) [/mm] + (8 [mm] \pi v)^{-1}
[/mm]
Kann mir bitte jemand diese Umformung im Detail erklären.
|
|
| |
|
Mir ist gerade aufgefallen, daß ich nicht erklärt habe, was dieses v ganz unten in der letzten Formel zu bedeuten hat. Es gilt: [mm] \tau [/mm] = u + iv
|
|
|
|
