Einsetzungshomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Di 03.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsring. Betrachte den Einsetzungshomomorphismus [mm] \varphi: [/mm] R[X] [mm] \to [/mm] R, h [mm] \mapsto [/mm] h(0). |
hallo.
Ich muss in einer Aufgabe den Kern des obigen Einsetzungshomomorphismus bestimmen und es sollte (X), also das von X erzeugte Ideal rauskommen. Aber wieso, verstehe ich nicht. Wenn ich die Abbildung richtig verstehe, ordnet sie jedem Polynom aus R[X] den Wert an der Stelle x=0 zu, also bei einem Polynom der Form [mm] \sum \limits_{i=0}^n a_ix^i [/mm] ist das genau [mm] a_0. [/mm] Nach meiner Vorstellung wäre dann der Kern von [mm] \varphi [/mm] alle Polynome, deren Konstante [mm] a_0 [/mm] gleich 0 ist. Also alle Polynome der Form [mm] \sum \limits_{i=1}^n a_ix^i
[/mm]
Das von X erzeugte Ideal wäre für mich nur alle möglichen Polynome der Form $a_ix$. ???
Und die letzte Frage: wie kann ich zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist? Anschaulich klar, aber wie kann ich das beweisen?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei R ein Integritätsring. Betrachte den
> Einsetzungshomomorphismus [mm]\varphi:[/mm] R[X] [mm]\to[/mm] R, h [mm]\mapsto[/mm]
> h(0).
> Ich muss in einer Aufgabe den Kern des obigen
> Einsetzungshomomorphismus bestimmen und es sollte (X), also
> das von X erzeugte Ideal rauskommen. Aber wieso, verstehe
> ich nicht. Wenn ich die Abbildung richtig verstehe, ordnet
> sie jedem Polynom aus R[X] den Wert an der Stelle x=0 zu,
> also bei einem Polynom der Form [mm]\sum \limits_{i=0}^n a_ix^i[/mm]
> ist das genau [mm]a_0.[/mm] Nach meiner Vorstellung wäre dann der
> Kern von [mm]\varphi[/mm] alle Polynome, deren Konstante [mm]a_0[/mm] gleich
> 0 ist. Also alle Polynome der Form [mm]\sum \limits_{i=1}^n a_ix^i[/mm]
>
> Das von X erzeugte Ideal wäre für mich nur alle
> möglichen Polynome der Form [mm]a_ix[/mm]. ???
Das von X erzeugte Hauptideal ist doch X$*$R[X], also größer.
> Und die letzte Frage: wie kann ich zeigen, dass [mm]\varphi[/mm]
> surjektiv ist? Anschaulich klar, aber wie kann ich das
> beweisen?
Was ist denn das Bild eines konstanten Polynoms?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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