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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:04 So 30.11.2008 | | Autor: | MarkusT |
| Aufgabe | Hat ein Einschrittverfahren der Form
[mm]y_{i+1} = y_{i} + h \summe_{j=1}^{s}b_{j} f(t_{i} + c_{j} h, \eta_{j})[/mm] mit [mm]\summe_{j=1}^{s}b_{j} = 1[/mm] die Ordnung q, dann hat die Quadratformel:
[mm]Q[g] = \summe_{j=1}^{s}b_{j}g(c_{j}) \approx \integral_{0}^{1}{g(x) dx}[/mm]
den Exaktheitsgrad q - 1
Beweis: Für 0 [mm] \le [/mm] n < q betrachten wir das spezielle Anfangswertproblem [mm]y'(t) = t^n, y(0) = 0[/mm]
mit der eindeutig bestimmten Lösung [mm]y(t) = t^{n+1}/(n+1).[/mm] Mit [mm] y_0 [/mm] = 0 ergibt sich die Abschätzung:
[mm]|y(h) - y_1| = |\bruch{1}{n+1} h^{n+1} - h\summe_{j=1}^{s}b_j(c_j h)^n| = O(h^{q+1}),\ h\to0[/mm]
für ein Einschrittverfahren der Ordnung q. Nach Division durch [mm] h^{n+1} [/mm] erhält man hieraus:
[mm]|\bruch{1}{n+1} - \summe_{j=1}^{s}b_j c_j^n| = O(h^{q-n}) = o(1),\ h \to 0[/mm]
und durch Grenzübergang [mm] h\to0 [/mm] ergibt sich zwangsläufig für [mm]p_n(t) = t^n[/mm], dass
[mm]Q[p_n] = \summe_{j=1}^{s}b_j c_j^n = \bruch{1}{n+1} = \integral_0^1 p_n(t) dt.[/mm]
Also ist die Quadraturformel Q[.] für alle Monome höchstens vom Grad kleiner oder gleich q-1, und damit für den ganzen Unterraum [mm] \Pi_{q-1} [/mm] exakt. |
Hallo,
ich habe mit diesem Beweis aus meinem Skript Probleme:
1. Warum gilt [mm] O(h^{q-n}) [/mm] = o(1) für alle n?
2. Was ist mit "durch Grenzübergang h->0 ergibt sich..." gemeint? Ich dachte es sollte bewiesen werden, dass Q[.] exakt ist, was doch unabhängig von h gelten müsste, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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