Einschnürung vs Quotientenk < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Sa 17.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] eine reelle Folge und sei [mm] $a_n\not= [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Angenommen, es gibt ein $q [mm] \in \IR$ [/mm] mit $0<q<1$ und ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] sodass [mm] $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
Beweisen Sie, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo Forum,
in meiner Musterlösung wird hier der Beweis über den Einschnürungssatz erbracht. Ich hab eine andere Idee und hoffe, daß auch dieses zulässig ist.
Hier meine Lösung:
Sei [mm] $\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}$ [/mm] eine Reihe. Nach Vorgabe gilt für alle $n>N$
[mm] $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
Unter diesen Vorgaben ist [mm] $\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}$ [/mm] nach dem Quotientenkriterium eine konvergente Reihe.
Wenn aber [mm] $\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}$ [/mm] konvergent ist, so ist dies ein hinreichendes Kriterium, daß [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
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> Sei [mm]a_n[/mm] eine reelle Folge und sei [mm]a_n\not= 0[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm].
> Angenommen, es gibt ein [mm]q \in \IR[/mm] mit [mm]0
> sodass [mm]\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|N[/mm]
> gilt.
>
> Beweisen Sie, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> Hallo Forum,
> in meiner Musterlösung wird hier der Beweis über den
> Einschnürungssatz erbracht. Ich hab eine andere Idee und
> hoffe, daß auch dieses zulässig ist.
>
>
>
> Hier meine Lösung:
>
> Sei [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm] eine Reihe. Nach
> Vorgabe gilt für alle [mm]n>N[/mm]
>
> [mm]\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
> Unter diesen Vorgaben ist [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> nach dem Quotientenkriterium eine konvergente Reihe.
>
> Wenn aber [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm] konvergent
> ist, so ist dies ein hinreichendes Kriterium, daß [mm]a_n[/mm] eine
> Nullfolge ist.
Hallo,
Dein Beweis ist richtig, vorausgesetzt, das Quotientenkriterium steht Dir zur Verfügung.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Sa 17.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Die Aufgabe wurde so gestellt, wie ich sie auch hier eingestellt habe. Dann freu ich mich mal, dass meine Lösung wohl auch richtig ist 
Danke,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
> Sei [mm]a_n[/mm] eine reelle Folge und sei [mm]a_n\not= 0[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm].
> Angenommen, es gibt ein [mm]q \in \IR[/mm] mit [mm]0
> sodass [mm]\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|N[/mm]
> gilt.
>
> Beweisen Sie, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> Hallo Forum,
> in meiner Musterlösung wird hier der Beweis über den
> Einschnürungssatz erbracht. Ich hab eine andere Idee und
> hoffe, daß auch dieses zulässig ist.
>
>
>
> Hier meine Lösung:
>
> Sei [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm] eine Reihe. Nach
> Vorgabe gilt für alle [mm]n>N[/mm]
>
> [mm]\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
> Unter diesen Vorgaben ist [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> nach dem Quotientenkriterium eine konvergente Reihe.
Du kannst auch direkt mit dem Majorantenkriterium und dem Begriff
"geometrische Reihe" arbeiten.
Dazu übrigens eine Anekdote:
Mein Prof. wollte in meiner Vordiplomprüfung den Beweis sehen:
$|q| < 1$ [mm] $\Rightarrow$ $q^n \to 0\,.$
[/mm]
Da gibt's einen "Standardbeweis", wo man im Wesentlichen den binomischen
Lehrsatz reinbringt.
($|q| > 1$ [mm] $\Rightarrow$ $\exists \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $|q|=\frac{1}{(1+\epsilon)}$ $\Rightarrow$ [/mm] ...)
Ich war verwirrt und hatte das auf meine eigene Art bewiesen:
Naja, es gilt
[mm] $\sum_{k=0}^\infty |q|^k=\frac{1}{1-|q|}$
[/mm]
und daraus folgt [mm] $|q|^n \to [/mm] 0$ und damit auch [mm] $q^n \to 0\,.$
[/mm]
Erstmal sieht das wie ein Kreisschluss aus - schließlich benutzt man bei
obigem Reihenwert auch, dass [mm] $q^n \to 0\,.$
[/mm]
Man kann es aber tatsächlich fast so machen, und das ist mir nach der
Vordiplomsprüfung eingefallen und das hatte ich meinem Prof. damals
auch nochmal mitgeteilt (in der Prüfung hatte ich dann noch schnell den
"Standardbeweis" nachgeliefert, weil mein Prof. obiges halt wegen des
"Kreisschlusses" kritisiert hatte):
Es ist nämlich nicht schwer, einzusehen, dass für jedes $N [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^N |q|^k \red{\;\le\;}\frac{1}{1-|q|}$
[/mm]
gilt. Das folgt einfach mit
[mm] $\sum_{k=0}^N |q|^k=\frac{1-|q|^{N+1}}{1-|q|}\,,$
[/mm]
was man etwa induktiv beweisen kann - und ebenso beweist man induktiv
$|q| < [mm] 1\,$ $\Rightarrow$ $|q|^M [/mm] < 1$ für alle $M [mm] \in \IN.$
[/mm]
Daher konvergiert nach dem Majorantenkriterium [mm] $\sum_{k=0}^\infty |q|^k$ [/mm] und der Rest
der Argumentation ist dann so, wie ich es in der Vordiplomsprüfung gesagt
hatte!
P.S. Achso, bei Deiner Aufgabe hätte ich dann einfach gesagt:
[mm] $\sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ $\le$ $\sum_{n=N}^\infty q^n\,.$
[/mm]
Und entweder schreibt man nun den Reihenwert von [mm] $\sum_{n=N}^\infty q^n$ [/mm] noch hin:
[mm] $\sum_{n=N}^\infty q^n=\frac{q^N}{1-q}$ [/mm] (warum?)
oder Du schreibst einfach weiter
[mm] $\le \sum_{n=\red{0}}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}.$
[/mm]
(Edit: Das Durchgestrichene war Unsinn: https://matheraum.de/read?i=978545.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Sa 17.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
erst ein mal freue ich mich, daß ich bei dieser Aufgabe wohl eine richtige Idee hatte, nachdem ich die letzten male doch mehr als nur einen Tipp brauchte
Nette Geschichte! Tja Vordiplomen, bis dahin ist es noch ein weiter Weg...
Ich kenne die Geometrische Reihe und weiß auch wie man den Wert der Reihe berechnet. Ich wäre aber nicht darauf gekommen, diese als Majorant zu nehmen.
Ich habe mir deinen Ansatz eben angesehen und dabei verstehe ich eine Sache nicht.
Warum muß gelten :
$ [mm] \sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] $ [mm] \le$ \sum_{n=N}^\infty q^n\ [/mm] $
Muß es nicht so sein, daß bei 0<q<1 ein [mm] q^n
$ [mm] \sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ \ge $\sum_{n=N}^\infty q^n\ [/mm] $
bzw. es heißen müßte:
$ [mm] \sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ \le $\sum_{n=N}^\infty [/mm] q\ [mm] $\qquad [/mm] ?
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 So 18.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
> Hallo Marcel,
> erst ein mal freue ich mich, daß ich bei dieser Aufgabe
> wohl eine richtige Idee hatte, nachdem ich die letzten male
> doch mehr als nur einen Tipp brauchte
>
> Nette Geschichte! Tja Vordiplomen, bis dahin ist es noch
> ein weiter Weg...
>
> Ich kenne die Geometrische Reihe und weiß auch wie man den
> Wert der Reihe berechnet. Ich wäre aber nicht darauf
> gekommen, diese als Majorant zu nehmen.
>
> Ich habe mir deinen Ansatz eben angesehen und dabei
> verstehe ich eine Sache nicht.
>
> Warum muß gelten :
>
> [mm]\sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] [mm]\le[/mm]
> [mm]\sum_{n=N}^\infty q^n\[/mm]
>
> Muß es nicht so sein, daß bei 0<q<1 ein [mm]q^n
> damit gelten müßte:
>
> [mm]\sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\sum_{n=N}^\infty q^n\[/mm]
wieso sollte das gelten?
>
> bzw. es heißen müßte:
>
> [mm]\sum_{n=N}^\infty |\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\sum_{n=N}^\infty q\[/mm][mm] \qquad[/mm] ?
Na, das gilt sicher auch, bringt Dir aber nichts.
Aber Du hast Recht: Da habe ich Unsinn geschrieben. Irgendwie dachte
ich dabei wohl, dass [mm] $|a_{n+1}/a_n| \le q^{\red{n}}$ [/mm] vorausgesetzt wäre.
Dem ist aber gar nicht so gewesen (das rote n stand aber leider gar nicht da...)^^
Von daher streiche ich den Unsinn da jetzt mal durch - sorry für die
Verwirrung. ( Aber gut, dass Du skeptisch drübergeguckt hast.  )
P.S. Was man machen könnte, wäre so was: Für natürliche $M > [mm] N\,$ [/mm] gilt
[mm] $a_M=\frac{a_M}{a_{M-1}}*\frac{a_{M-1}}{a_{M-2}}*...*\frac{a_{N+1}}{a_{N}}*a_{N} \le q^{...}*...$
[/mm]
Also analog zu dem, was im Beweis zum QK gemacht wird.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 So 18.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
hast mich nicht verwirrt? ... und kleine Fehler machen Menschlich
Grüße,
Micha
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