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Gibt es einen trivialen Grund dafür, dass alle n-Einheitswurzeln (Wurzeln w, für die gelten [mm] w^n=1) [/mm] auf dem Einheitskreis liegen?
Im Einzelfall konnte ich das zwar immer zeigen, aber vielleicht gibt es ja einen wirklich banalen Grund dafür?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 05.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die reelle Wurzel aus 1 ist 1. beim Potenzieren einer komplexen Zahl werden die Betraege mult. und die Winkel addiert. D.h. 2 Zahlen auf dem einheitskreis mult bleiben da!
Gruss leduart
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> D.h. 2 Zahlen auf dem einheitskreis mult bleiben
> da!
Das sehe ich ja ein, aber nehmen wir mal an, wir wollen verstehen, warum |z|=1 für alle z aus [mm] z^5=1
[/mm]
Welche 2 Zahlen auf dem Einheitskreis meinst du hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei z [mm] \in \IC [/mm] eine n-te Einheitswurzel. Dann gilt doch:
[mm] $z^n [/mm] = 1$.
Nun gehen wir zum Betrg über:
(*) [mm] $|z^n| =|z|^n [/mm] =1$.
Die Gleichung [mm] x^n [/mm] = 1 hat in [mm] \IR [/mm] genau eine nichtnegative Lösung, nämlich x=1.
Da |z| [mm] \ge [/mm] 0, folgt damit aus (*): $|z|=1$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Do 05.02.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Ah, verstehe!
Danke euch.
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