Einheitsvektoren, Nullvektor.. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Tully |
| Aufgabe | F: [mm] \IR³ \to \IR³ [/mm] mit [mm] F(\vec{x} [/mm] := A * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] und
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wird eine Abbildung vom Anschauuungsraum [mm] \IR³ [/mm] in sich beschrieben.
1. Auf welche Vektoren werden die Einheitsvektoren [mm] \vec{e1}, \vec{e2} [/mm] und [mm] \vec{e3} [/mm] abgebildet?
2. Welcher Vektor wird auf den Nullvektor abgebildet?
3. Bestimmen Sie die inverse Matrix zu A. Interpretieren sie das ergebnis. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe Probleme bei Punk 1. und Punkt 2. Kann mir jemand evt. kurz erläutern, wie man bei diesen Aufgaben prizipiell vorgeht?
Zu Aufgabe 3. Die inverse Matrix entsprich ja der Ausgangsmatrix. Wie kann man dies Interpretieren? Also was bedeutet es allgemein, wenn die Ausgangsmatrix der Inversen entspricht?
Vielen Dank für Eure Hilfe!! :)
Tully
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mo 07.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Tully,
zu 1.) setze die 3 Einheitsvektoren einfach für x in die Funktion ein und rechne aus.
zu 2.) setze den Nullvektor für F(x) ein und löse nach x auf.
zu 3.) z.B. könnte man sagen, daß ein Vektor, der zweimal hintereinander (nur!) mit der Matrix abgebildet wird, wieder auf sich selbst fällt. Der Verschiebungsvektor sorgt hier aber für Störung. Die Matrix ist weiterhin orthogonal.
Versuche vielleicht auch, die Abbildung geometrisch zu interpretieren.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Tully |
Danke.
Also theoretisch so:
1.
[mm] \vec{e1} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
[mm] \vec{e2} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ?
usw.
Ist dies korrekt?
Guter Tipp mit der geometrischen Betrachtung. Hat mir geholfen! :)
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Hallo Tully,
> Danke.
> Also theoretisch so:
>
> 1.
> [mm]\vec{e1}[/mm] = [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]\vec{e2}[/mm] = [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da haste dich verrechnet (oder eher verschrieben), es ist doch [mm] $A\cdot{}e_2=\vektor{0\\0\\1}$, [/mm] also ...
>
> usw.
>
> Ist dies korrekt?
>
> Guter Tipp mit der geometrischen Betrachtung. Hat mir
> geholfen! :)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Tully |
mh? der rechenweg sie doch wie folgt aus:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und das dann + [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ?
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Hi,
> mh? der rechenweg sie doch wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
M.E. kommt da [mm] $\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] raus
> und das dann + [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ?
Das Vorgehen ist ja richtig, aber ich meine, das erste Produkt stimmt bei dir nicht
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Di 08.07.2008 | | Autor: | Tully |
Oh je, ja, natürlich! Danke ;)
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