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Einheitskugel und Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mo 22.11.2010
Autor: EdwinMoses

Aufgabe
Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder [mm] x^{2}-x+y^{2} \le [/mm] 0 und [mm] x^{2}+x+y^{2} \le [/mm] 0 ausgebohrt. Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in Zylinderkoordinaten

Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:



[mm] \pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx} [/mm]

nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für die Zylinder aussehen

        
Bezug
Einheitskugel und Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Di 23.11.2010
Autor: meili

Hallo,

> Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder
> [mm]x^{2}-x+y^{2} \le[/mm] 0 und [mm]x^{2}+x+y^{2} \le[/mm] 0 ausgebohrt.
> Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in
> Zylinderkoordinaten
>  Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als
> "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:
>  
>
>
> [mm]\pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx}[/mm]
>  
> nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder
> abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse
> rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring
> dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für
> die Zylinder aussehen

Um einen Zylinder um die y-Achse zu erhalten, kann man ein achsenparalelles Rechteck um die y-Achse rotieren lassen.

Schneiden sich die beiden Zylinder?

Gruß
meili


Bezug
        
Bezug
Einheitskugel und Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Di 23.11.2010
Autor: MathePower

Hallo EdwinMoses,

> Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder
> [mm]x^{2}-x+y^{2} \le[/mm] 0 und [mm]x^{2}+x+y^{2} \le[/mm] 0 ausgebohrt.
> Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in
> Zylinderkoordinaten
>  Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als
> "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:
>  
>
>
> [mm]\pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx}[/mm]
>  
> nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder
> abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse
> rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring
> dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für
> die Zylinder aussehen


Dazu musst Du die Grenzen der  beiden Zylinder
mit der Einheitskugel berechnen.

Dann gibt das  ein Dreifach-Integral.

[mm]V=\integral_{x_{0}}^{x_{1} }{ \integral_{y_{0}\left(x\right)}^{y_{1}\left(x\right)}{\integral_{z_{0}\left(x,y\right)}^{z_{1}\left(x,y\right)}{ dz } \ dy} \ dx}[/mm]


Gruss
MathePower

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Einheitskugel und Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 23.11.2010
Autor: EdwinMoses

hmmmmmm also bin mir nicht ganz sicher wie das dann aussehen muss. Dann brauch ich mein Einheitskugelntegral gar nicht mehr und kann die Aufgabe gleich durch dieses 3-fache Integral lösen oder? würde das dann so aussehen?

[mm] \integral_{-1}^{1}{} \integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{} \integral_{x^{2}-x+y^{2}}^{x^{2}+x-y^{2}}{1 dz dy dx} [/mm]



Bezug
                        
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Einheitskugel und Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Di 23.11.2010
Autor: MathePower

Hallo EdwinMoses,

> hmmmmmm also bin mir nicht ganz sicher wie das dann
> aussehen muss. Dann brauch ich mein Einheitskugelntegral
> gar nicht mehr und kann die Aufgabe gleich durch dieses
> 3-fache Integral lösen oder? würde das dann so aussehen?
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1}{} \integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{} \integral_{x^{2}-x+y^{2}}^{x^{2}+x-y^{2}}{1 dz dy dx}[/mm]
>  


Nein.

Der Rand des Zylinders [mm]x^{2}+x+y^{2} \le 0[/mm]

[mm]x^{2}+x+y^{2}=0[/mm]

lässt sich mit Hilfe quadratischer Ergänzung so schreiben:

[mm]\left(x+\bruch{1}{2}\right)^{2}+y^{2}= \bruch{1}{4}[/mm]

Hieraus ist ersichtlich, daß [mm]-1 \le x \le 0[/mm].

Durch Auflösen dieser Gleichung erhält man y:

[mm]y=\pm \wurzel{-x^{2}-x}[/mm]

Und schliesslich aus

[mm]x^{2}+x+y^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 \Rightarrow z=\pm \wurzel{1+x}[/mm]

Damit ergibt sich das zu berechnende Integral zu:

[mm]\integral_{-1}^{0}{\integral_{-\wurzel{-x^{2}-x}}^{+\wurzel{-x^{2}-x}}{\integral_{-\wurzel{1+x}}^{+\wurzel{1+x}}{ \ dz} \ dy} \ dx}[/mm]

Analog geht das  für den Zylinder [mm]x^{2}-x+y^{2} \le 0[/mm]


Gruss
MathePower

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Einheitskugel und Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Di 23.11.2010
Autor: EdwinMoses

okay vielen danke :) jetzt hab ich es verstanden! Wir sind erst ganz neu in die Mehrfachintegrale eingestiegen deswegen wusste ich das nicht so genau

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