Einheitengruppe komm.? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Gianni |
| Aufgabe | Es soll gezeigt werden: Sei R ein Ring und R*= [mm] \{x | x \varepsilon R \wedge x|1 \} [/mm] die
Menge der Einheiten, dann stellt diese Menge bezüglich [mm] "\cdot" [/mm] eine Abelsche Gruppe dar |
Hallo Freunde der Mathematik,
Mein Problem bei dieser Aufgabenstellung ist nun, dass ich das "abelsche" nicht
auf die Reihe krieg.
-Assoziativität kann ich vorraussetzen(wegen R)
Die Operation ist binär, da, wenn x,y [mm] $\varepsilon$ [/mm] R*, dann gilt:
[mm] (xy)(y^{-1}x^{-1})=1=(yx)(x^{-1}y^{-1})
[/mm]
Da ich Kommutativität nicht voraussetze muss ich auch noch zeigen, dass
das Linksinverse und das Rechtsinverse übereinstimmen:
z....Rechtsinverses
z'....Linksinverses
z=(z'x)z=z'(xz)=z'
Das Einselement liegt offensichtlich auch in der Menge, da 1|1
und mit der Definition der Einheiten liegen natürlich auch die Inversen
drin.
Nur mit der Kommutativität komm ich nicht zu Rande!
Mein Verdacht liegt ja in dem "x|1" der Angabe, denn meines Wissens
nach macht ja der Begriff der Teilbarkeit erst in einem Euklidischen Ring
Sinn.
Ich hab aber den Professor gefragt, ob ich Kommutativität voraussetzen kann,
worauf er "nein" meinte und ich glaube er murmelte zu einem Kollegen,
dass es sich "nur" um einen Euklidischen Ring handle.Aber ist der nicht schon
per Definitionem kommutativ?(Nullteilerfreier und Kommutativer Ring)
Klingt für "echte" Mathematiker wahrscheinlich recht linkisch, aber wär echt
super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Schönen Nachmittag noch,
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Nachmittag,
also allgemein wird [mm] R^{\star} [/mm] nicht kommutativ sein.
Beispiel:
GL(n,K) = Menge der invertierbaren [mm] n\times [/mm] n Matrizen über Körper K.
Diese ist die Einheitengruppe des Matrizenringes [mm] K^{n\times n}, [/mm] aber i.a. nicht kommutativ.
Mehr können Dir vielleicht die Algebraiker im Forum schreiben.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Di 28.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Hm? An sich ist ein Euklidischer Ring kommutativ. Dann wäre die
Aussage trivial. Also würde ich es mal auf die ignorante Art des Profs
schieben...
Im übrigen ist Teilbarkeit auch in etwas allgemeineren Ringen erklärt,
zB in Integritätsringen.
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