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Hallo!
Bei folgender Aufgabe komme ich gerade nicht weiter:
D > 1 sei eine quadratfreie ganze Zahl wobei nicht!!! D [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 gilt.
Für K= [mm] \IQ (\sqrt(D)) [/mm] fixieren wir eine Einbettung von K in [mm] \IR [/mm] und betrachten K bezüglich dieser Einbettung als Unterkörper von [mm] \IR. [/mm] Sei b>0 die kleinste positive ganze Zahl mit [mm] Db^2+1 [/mm] oder [mm] Db^2-1 [/mm] gleich [mm] a^2 [/mm] für ein a>0, a [mm] \in \IZ. [/mm]
Zunächst soll ich zeigen, dass a+b [mm] \sqrt(D) [/mm] eine Einheit in K ist.
Wie das geht ist mir klar.
Nun soll ich zeigen, dass in der Einheitengruppe des ganzen Zahlkörpers von K, [mm] o_K [/mm] * ein eindeutig bestimmtes Element e = x + [mm] \sqrt(D) [/mm] existiert mit [mm] o_K [/mm] * [mm] \cong [/mm] {+1, -1} [mm] \times [/mm] <e> und x,y > 0.
Vermutlich wird das auf den Dirichletschen Einheitssatz hinauslaufen. Aber dieser liefert mir doch nur, dass [mm] o_K [/mm] * [mm] \cong [/mm] {+1, -1} [mm] \times \IZ [/mm] ist, da wir es mit einem reelquadratischen Körper zu tun haben, oder? Wie stelle ich denn da den Zusammenhang zur Behauptung her?
Im Anschluss soll noch gezeigt werden, dass a+b sqrt(D) das oben beschriebene e ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 13.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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