Einheiten, exp, kgv < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei N eine quadratfreie Zahl geschrieben in ihrer Primfaktorzerlegung.
z.z.:
[mm] exp((\IZ/(\IN))\*) [/mm] = kgV(p1-1,p2-1,...,pr-1), p Primfaktoren
[der Stern steht für die Einheiten] |
Hallo Leute,
hier weiß ich einfach nicht, wie der kgV und exp zusammenhängen. Wenn ich mich recht entsinne, kann ich doch wie folgt vorgehen:
[mm] (\IZ/(\IN))\* [/mm] = [mm] (\IZ/(p1))\* [/mm] x [mm] (\IZ/(p2))\* [/mm] x ... x [mm] (\IZ/(pr))\*
[/mm]
Nun hat [mm] (\IZ/(p1))\* [/mm] genau p1-1 Elemente, da [mm] (\IZ/(p1)) [/mm] ein Körper ist.
So, bis hierhin komme ich, aber wie kann ich jetzt weiter argumentieren?!?
Kann mir da vllt jemand bei helfen?
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Fr 03.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> sei N eine quadratfreie Zahl geschrieben in ihrer
> Primfaktorzerlegung.
> z.z.:
> [mm]exp((\IZ/(\IN))\*)[/mm] = kgV(p1-1,p2-1,...,pr-1), p
> Primfaktoren
>
> [der Stern steht für die Einheiten]
> Hallo Leute,
> hier weiß ich einfach nicht, wie der kgV und exp
> zusammenhängen. Wenn ich mich recht entsinne, kann ich
> doch wie folgt vorgehen:
> [mm](\IZ/(\IN))\*[/mm] = [mm](\IZ/(p1))\*[/mm] x [mm](\IZ/(p2))\*[/mm] x ... x
> [mm](\IZ/(pr))\*[/mm]
> Nun hat [mm](\IZ/(p1))\*[/mm] genau p1-1 Elemente, da [mm](\IZ/(p1))[/mm]
> ein Körper ist.
Wichtiger ist: die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung [mm] $p_1 [/mm] - 1$.
> So, bis hierhin komme ich, aber wie kann ich jetzt weiter
> argumentieren?!?
Zeige folgende Aussagen:
a) ist $G$ eine Gruppe mit $G [mm] \cong H_1 \times H_2$, [/mm] so gilt [mm] $\exp(G) [/mm] = [mm] kgV(\exp(H_1), \exp(H_2))$;
[/mm]
2) ist $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, so gilt [mm] $\exp(G) [/mm] = n$.
Dann kannst du per Induktion nach $r$ die Behauptung beweisen.
LG Felix
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Leider verstehe ich deine Hinweise überhaupt nicht :-(
Ich verstehe einfach nicht, wie exp und kgV zusammenhängen sollen, oder wie man das auch im entferntesten beweisen könnte - ich verzweifel echt total an dieser Aufgabe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Fr 03.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für deine schnelle Antwort. Leider verstehe ich
> deine Hinweise überhaupt nicht :-(
> Ich verstehe einfach nicht, wie exp und kgV
> zusammenhängen sollen, oder wie man das auch im
> entferntesten beweisen könnte - ich verzweifel echt total
> an dieser Aufgabe...
Mit den Hinweisen von mir inkl. Induktion folgt:
Ist $G$ eine Gruppe mit $G [mm] \cong H_1 \times H_2 \times \dots \times H_r$, [/mm] wobei [mm] $H_i$ [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung [mm] $n_i$ [/mm] ist, so ist [mm] $\exp(G) [/mm] = [mm] kgV(n_1, \dots, n_r)$.
[/mm]
Bei dir ist $G [mm] \cong (\IZ/n\IZ)^\ast$, $H_i \cong (\IZ/p_i\IZ)^\ast$ [/mm] und [mm] $n_i [/mm] = [mm] p_i [/mm] - 1$.
LG Felix
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