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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 12.03.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei gegeben das diskrete dynamische Populationsmodell [mm] x_{k+1}=r [/mm] (1- [mm] \frac{x_k}{x_c}) x_k [/mm] wobei [mm] x_k [/mm] die Anzahl der Rinder in k Interationsschritten ist und [mm] x_c [/mm] die maximala Kapazität von Rindern, die das System aufnehmen kann.
Nun soll das Modell entdimensionalisiert(in nicht-dimensionale form gebracht) werden. |
Hallo,
Die Zeit wird dabei als diskret betrachtet d.h. x wir nur an regelmäßig aufeinanderfolgenden Zeitpunkte betrachtet. Also hat k doch entsprechend keine Einheit oder?
Auch bin ich mir unsicher was die Einheit von dem Populationswachstum r ist. Am Anfang haben wir im Skript geschrieben r..Populationswachstum per individum und pro Zeiteinheit.
Da wir im diskreten Modell nur von Interationsschritten reden ist dass [r]=1/N wobei N die Einheit der Nummer von Rindern ist?
Wir hatten in der Vorlesung den linearen Ansatz: p(x)=q [mm] (x_c-x) [/mm] wobei q ein pos. Faktor ist. Damit haben wir eine logistische Differentialgleichung x'(t)= q [mm] (x_c [/mm] - x(t))*x(t) , [mm] x(0)=x_0 [/mm] hergeleitet. Dabei war [p]=1/T und dementsprechend [q]=1/N*T.
Mein Versuch wäre nun die Dgl zu diskretisieren.
q [mm] (x_c [/mm] - x(t))*x(t)=x'(t) [mm] \approx \frac{\Delta x}{\Delta t}
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] x_{t+1} [/mm] - [mm] x_t
[/mm]
[mm] x_{t+1}= x_t [/mm] + q ( [mm] x_c [/mm] - [mm] x_t) x_t [/mm] * [mm] \Delta [/mm] t
[mm] x_{t+1}= x_t [/mm] + q [mm] x_c x_t \Delta [/mm] t - q [mm] x_t^2 [/mm] * [mm] \Delta [/mm] t
Setze q [mm] \Delta [/mm] t = [mm] \frac{r}{x_c} [/mm] so ergibt sich:
[mm] x_{t+1}= x_t+ [/mm] r [mm] x_t [/mm] - [mm] \frac{r}{x_c} x_t^2 [/mm] = [mm] x_t [/mm] +r (1- [mm] \frac{x_k}{x_c}) x_k
[/mm]
So wäre nun r dimensionslos aber das stimmt ja nicht mit der Angaben überein wegen [mm] x_t [/mm] am Anfang...!
Weiß wer mehr über die Einheiten des logistische diskrete Populationsmodell?
Mir ist nur klar, dass [mm] [x_k]=N=[x_c] [/mm] und somit [mm] s_k= x_k/x_c [/mm] dimensionslos ist und wenn ich das in meiner Gleichung ersetze erhalte ich [mm] s_k [/mm] = [mm] r*s_{k-1} [/mm] (1- [mm] s_{k-1}).
[/mm]
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> Es sei gegeben das diskrete dynamische Populationsmodell
> [mm]x_{k+1}=r[/mm] (1- [mm]\frac{x_k}{x_c}) x_k[/mm] wobei [mm]x_k[/mm] die Anzahl der
> Rinder in k Interationsschritten ist und [mm]x_c[/mm] die maximale
> Kapazität von Rindern, die das System aufnehmen kann.
> Nun soll das Modell entdimensionalisiert(in
> nicht-dimensionale form gebracht) werden.
>
> Hallo,
>
> Die Zeit wird dabei als diskret betrachtet d.h. x wir nur
> an regelmäßig aufeinanderfolgenden Zeitpunkte betrachtet.
> Also hat k doch entsprechend keine Einheit oder?
> Auch bin ich mir unsicher was die Einheit von dem
> Populationswachstum r ist. Am Anfang haben wir im Skript
> geschrieben r..Populationswachstum per individum und pro
> Zeiteinheit.
> Da wir im diskreten Modell nur von Interationsschritten
> reden ist dass [r]=1/N wobei N die Einheit der Nummer von
> Rindern ist?
Hallo sissile
Der Index k ist eine natürliche Zahl, also [mm] k\in\IN_0 [/mm] .
Bestimmt ist gemeint, dass jeder Iterationsschritt
ein konstantes Zeitintervall [mm] $\Delta [/mm] t$ einnimmt.
Man könnte also, wenn man will, noch eine Zeitkoordinate
t mit $\ t\ =\ [mm] k*\Delta [/mm] t$ einführen.
Sowohl t als auch [mm] $\Delta [/mm] t$ wären dann Größen der
"Dimension" Zeit, gerechnet in einer Zeiteinheit wie zum
Beispiel Jahr oder Monat.
[mm] x_k [/mm] steht für die Anzahl der Rinder nach dem k-ten
Iterationsschritt oder also zum Zeitpunkt $\ t(k)\ =\ [mm] k*\Delta [/mm] t$.
Sinnvollerweise sollte dann [mm] x_k [/mm] eigentlich eine
natürliche Zahl sein. Rechnerisch erhält man aber
nach der Iterationsformel jeweils nicht ganzzahlige Werte,
weshalb es sinnvoll ist, zunächst einmal von [mm] x_k \in \IR^+
[/mm]
auszugehen. Berechnete Ergebnisse werden dann jeweils
am Schluss in sinnvoller Weise auf ganzzahlige Werte
gerundet. Man muss sich ja bewusst bleiben, dass das
Ganze ohnehin nur eine approximative Berechnung bleibt.
Aus der Formel wird klar, dass auch r ebenfalls ein
(dimensionsloser) Faktor mit [mm] r\in\IR_0^+ [/mm] sein muss.
So gesehen verstehe ich gar nicht so recht, was damit
gemeint sein soll, die Formel zu "entdimensionalisieren".
Nach meiner bescheidenen Ansicht ist sie so wie sie
dasteht, schon dimensionslos ...
LG , Al-Chwarizmi
> Wir hatten in der Vorlesung den linearen Ansatz: p(x)=q
> [mm](x_c-x)[/mm] wobei q ein pos. Faktor ist. Damit haben wir eine
> logistische Differentialgleichung x'(t)= q [mm](x_c[/mm] -
> x(t))*x(t) , [mm]x(0)=x_0[/mm] hergeleitet. Dabei war [p]=1/T und
> dementsprechend [q]=1/N*T.
>
> Mein Versuch wäre nun die Dgl zu diskretisieren.
> q [mm](x_c[/mm] - x(t))*x(t)=x'(t) [mm]\approx \frac{\Delta x}{\Delta t}[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] x = [mm]x_{t+1}[/mm] - [mm]x_t[/mm]
> [mm]x_{t+1}= x_t[/mm] + q ( [mm]x_c[/mm] - [mm]x_t) x_t[/mm] * [mm]\Delta[/mm] t
> [mm]x_{t+1}= x_t[/mm] + q [mm]x_c x_t \Delta[/mm] t - q [mm]x_t^2[/mm] * [mm]\Delta[/mm] t
> Setze q [mm]\Delta[/mm] t = [mm]\frac{r}{x_c}[/mm] so ergibt sich:
> [mm]x_{t+1}= x_t+[/mm] r [mm]x_t[/mm] - [mm]\frac{r}{x_c} x_t^2[/mm] = [mm]x_t[/mm] +r (1-
> [mm]\frac{x_k}{x_c}) x_k[/mm]
> So wäre nun r dimensionslos aber das
> stimmt ja nicht mit der Angaben überein wegen [mm]x_t[/mm] am
> Anfang...!
>
> Weiß wer mehr über die Einheiten des logistische diskrete
> Populationsmodell?
> Mir ist nur klar, dass [mm][x_k]=N=[x_c][/mm] und somit [mm]s_k= x_k/x_c[/mm]
> dimensionslos ist und wenn ich das in meiner Gleichung
> ersetze erhalte ich [mm]s_k[/mm] = [mm]r*s_{k-1}[/mm] (1- [mm]s_{k-1}).[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 12.03.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
Kommt die Fomel im Anfangspost [mm] x_{k+1}= [/mm] r (1- [mm] \frac{x_k}{x_c}) x_k [/mm] nicht zurstande durch diskretisieren der Differentialgleichung: x'(t)=q [mm] (x_c [/mm] - x(t)) x(t) [mm] \forall [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0, [mm] x(0)=x_0 [/mm] wie ich zuerst vermutet habe? Das Modell mt der Dgl wird bei uns als kontinuierliches dynamisches Populationsmodell bezeichnet.
Weil du zu diesem Versuch in Post 1 nicht geschrieben hast vermute ich, dass es falsch ist? Damit wollte ich die Dimension von r spezifizieren.
Herumprobieren brachte mich nun zu:
x'(t) $ [mm] \approx \frac{\Delta x}{\Delta t} [/mm] $, $ [mm] \Delta [/mm] $ x = $ [mm] x_{t+1} [/mm] $ - $ [mm] x_t [/mm] $
[mm] x_{k+1}= x_k [/mm] + q [mm] x_k (x_c [/mm] - [mm] x_k) \Delta [/mm] t = [mm] x_k [/mm] (1+ q [mm] x_c \Delta [/mm] t) - q [mm] x_k^2 \Delta [/mm] t
Setze r= 1 + q [mm] x_c \Delta [/mm] t
So erhalte ich [mm] x_{k+1}= x_k [/mm] * r - [mm] \Delta [/mm] t *q* [mm] x_n^2
[/mm]
Setze ich nun [mm] z_k [/mm] = [mm] \frac{q \Delta t}{r} x_k [/mm] und multipliziere obige Gleichung mit [mm] \frac{q \Delta t}{r}:
[/mm]
[mm] z_{k+1}= z_k [/mm] *r - [mm] z_k^2 *\frac{r}{q \Delta t} \Delta [/mm] t q = [mm] rz_k *(1-z_k^2)
[/mm]
Ich erhalte also die vereinfache Formel des diskreten Models der Aufgabe.
und [r]= [mm] [1+qx_c \Delta t]=\frac{N T}{NT}=1 [/mm] da [mm] [q]=\frac{1}{NT} [/mm] und [mm] [x_c]=N
[/mm]
-----------------------------------------
Edit: Ich glaube das passt nicht weil hier ja [mm] z_k [/mm] = [mm] \frac{q \Delta t}{r} x_k [/mm] d.h. mit der Definition von r ist [mm] z_k [/mm] = [mm] \frac{q \Delta t}{r} x_k=\frac{(r-1)/x_c}{r} x_k= \frac{r-1}{r*x_c} x_k.
[/mm]
Die Skallierung für das Problem der Aufgabe ist aber [mm] y_k= \frac{1}{x_c} x_k. [/mm] Also glaube ich passt das nicht zusammen.
LG,
sissi
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> Hallo,
> Danke für deine Antwort.
> Kommt die Fomel im Anfangspost [mm]x_{k+1}\ =\ r (1\ -\ \frac{x_k}{x_c}) x_k[/mm]
> nicht zurstande durch diskretisieren
> der Differentialgleichung: x'(t)=q [mm](x_c[/mm] - x(t)) x(t)
> [mm]\forall[/mm] t [mm]\ge[/mm] 0, [mm]x(0)=x_0[/mm] wie ich zuerst vermutet habe? Das
> Modell mt der Dgl wird bei uns als kontinuierliches
> dynamisches Populationsmodell bezeichnet.
Die Rekursionsformel kommt natürlich durch Diskretisierung
der DGL zustande. Dass der Faktor r aber jedenfalls dimensionslos
sein muss, kann man aus der Rekursionsformel allein ganz leicht
ablesen:
In der Gleichung $ [mm] x_{k+1}=r [/mm] * (1\ -\ [mm] \frac{x_k}{x_c})* x_k [/mm] $
sind ja offensichtlich sowohl [mm] x_k [/mm] , [mm] x_{k+1} [/mm] , deren Quotient und
auch der gesamte Term in der Klammer einfache (dimensionslose)
Zahlenwerte. Dann muss auch r dimensionslos sein, wenn die
Gleichung beidseitig dieselbe Dimension (nämlich eben keine ...)
aufweisen soll.
Die vorliegende Gleichung ist also dimensionslos.
Im Gegensatz dazu ist aber die Differentialgleichung
$\ x'(t)\ =\ q * [mm] (x_c [/mm] - x(t)) * x(t)$
nicht dimensionslos: Die Ableitung x'(t) auf der linken Seite hat
die Dimension 1/[Zeit] .
Auf der rechten Seite sind sowohl x(t) als auch der Klammerterm
dimensionslos (bzw. bezeichnen Populationsanzahlen). Folglich
müsste die Konstante q auch von der Dimension 1/[Zeit] sein.
Um das Ganze genau aufzudröseln, kann man sich noch über-
legen, wie der exakte Zusammenhang zwischen den Konstanten
q und r aussehen muss. Dabei werden auch die weiteren
Konstanten [mm] $\Delta\ [/mm] t$ und [mm] x_c [/mm] eine Rolle spielen.
Ich komme für diesen Zusammenhang auf:
$\ r\ =\ q\ *\ [mm] \Delta_t\ [/mm] *\ [mm] x_c$ [/mm]
> Weil du zu diesem Versuch in Post 1 nicht geschrieben hast
> vermute ich, dass es falsch ist?
Nein, aber ich fand es überflüssig, darüber weiter zu grübeln,
wenn doch r offensichtlich dimensionslos sein muss !
LG , Al-Chwarizmi
> Damit wollte ich die
> Dimension von r spezifizieren.
>
> Herumprobieren brachte mich nun zu:
> x'(t) [mm]\approx \frac{\Delta x}{\Delta t} [/mm], [mm]\Delta[/mm] x =
> [mm]x_{t+1}[/mm] - [mm]x_t[/mm]
> [mm]x_{k+1}= x_k[/mm] + q [mm]x_k (x_c[/mm] - [mm]x_k) \Delta[/mm] t = [mm]x_k[/mm] (1+ q [mm]x_c \Delta[/mm]
> t) - q [mm]x_k^2 \Delta[/mm] t
> Setze r= 1 + q [mm]x_c \Delta[/mm] t
> So erhalte ich [mm]x_{k+1}= x_k[/mm] * r - [mm]\Delta[/mm] t *q* [mm]x_n^2[/mm]
> Setze ich nun [mm]z_k[/mm] = [mm]\frac{q \Delta t}{r} x_k[/mm] und
> multipliziere obige Gleichung mit [mm]\frac{q \Delta t}{r}:[/mm]
>
> [mm]z_{k+1}= z_k[/mm] *r - [mm]z_k^2 *\frac{r}{q \Delta t} \Delta[/mm] t q =
> [mm]rz_k *(1-z_k^2)[/mm]
>
> Ich erhalte also die vereinfache Formel des diskreten
> Models der Aufgabe.
> und [r]= [mm][1+qx_c \Delta t]=\frac{N T}{NT}=1[/mm] da
> [mm][q]=\frac{1}{NT}[/mm] und [mm][x_c]=N[/mm]
> -----------------------------------------
> Edit: Ich glaube das passt nicht weil hier ja [mm]z_k[/mm] =
> [mm]\frac{q \Delta t}{r} x_k[/mm] d.h. mit der Definition von r ist
> [mm]z_k[/mm] = [mm]\frac{q \Delta t}{r} x_k=\frac{(r-1)/x_c}{r} x_k= \frac{r-1}{r*x_c} x_k.[/mm]
>
> Die Skallierung für das Problem der Aufgabe ist aber [mm]y_k= \frac{1}{x_c} x_k.[/mm]
> Also glaube ich passt das nicht zusammen.
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Sa 12.03.2016 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort.
Ich habe deine Erklärung verstanden. Mir kommt das Bsp. nur irgendwie so viel zu einfach vor;)
Du sagt am Ende
> Um das Ganze genau aufzudröseln, kann man sich noch über-
> legen, wie der exakte Zusammenhang zwischen den Konstanten
> q und r aussehen muss. Dabei werden auch die weiteren
> Konstanten $ [mm] \Delta\ [/mm] t $ und $ [mm] x_c [/mm] $ eine Rolle spielen.
> Ich komme für diesen Zusammenhang auf:
> $ \ r\ =\ q\ [mm] \cdot{}\ \Delta_t\ \cdot{}\ x_c [/mm] $
Ich habe das in Post 1 genau mit diesen r-Wert gemacht. Jedoch kam nicht dasselbe heraus wie in der Angabe.
Ich bin auf [mm] x_{t+1}= x_t [/mm] +r (1- [mm] \frac{x_k}{x_c}) x_k [/mm] gekommen. Also noch einen übrigen [mm] x_t [/mm] Term der in der Angabe nicht aufkommt.
Kannst du mir das noch erklären?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 So 13.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Ausgangsformel ist etwas falsch! es muss
[mm] x_{k+1}=x_k+r*(1-x_k/x_c)*x_k [/mm] sein.
denn wenn [mm] x_k x_c [/mm] erreicht hat, muss [mm] x_{k+1}=x_k [/mm] gelten. denn wenn der Anfangswert schon [mm] x_c [/mm] wäre, hättest du mit deiner Gleichung im nächsten Schritt eine Population von 0!
also ein Druckfehler in der Aufgabe, oder ein Abschreibefeiler, den du ja auch bemerkst, wenn du die richtige logistische Dgl in eine differnzengleichung umsetzt.
Gruß leduart
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> in deiner Ausgangsformel ist etwas falsch! es muss
> [mm]x_{k+1}=x_k+r*(1-x_k/x_c)*x_k[/mm] sein.
Hallo leduart
Du hast Recht. Und ich sollte mich ein wenig schämen, diesen
Fehler nicht auch gleich bemerkt zu haben. Ich konzentrierte
mich eben auf die Frage nach der Dimension der Konstanten r .
Zur Beantwortung dieser Frage war es nicht einmal nötig, die
Rekursionsformel auf ihre Richtigkeit hin zu überprüfen.
Trotzdem hätte ich dies ebenfalls tun sollen.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 So 13.03.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank euch!
LG
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