Einheiten beim Kalmanfilter < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Moin zusammen,
ich hätte da mal eine Frage zu den Einheiten beim Kalman-Filter. Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) Matheplanet; dies vor etwa einer Woche, allerdings wollte ich mangels Antworten auch die schlauen Köpfe dieses Forums integrieren ;)
Zwecks Plausibilitätsüberprüfung habe ich meine Gleichungen des Beobachters anhand der Einheiten überprüft und bin hierbei auf Widersprüche gestoßen.
Randbedingungen
Als System habe ich eine Bewegungsgleichung der Form
F = ma+bv -> [mm] a=-\frac{b}{m}v+\frac{1}{m}F,\hfill [/mm] (1)
wobei $F$ die externe Kraft, $a$ die Beschleunigung, $v$ die Geschwindigkeit, $m$ die Masse des Körpers und $b$ der Dämpfungskoeffizient seien.
Diese wird in die Zustandsraum-Darstellung überführt, $p$ beschreibe dabei die Position des Körpers. Mit der Konvention, dass Matrizen doppelt und Vektoren einfach unterstrichen sind, folgt
[mm] x_1 [/mm] = p [mm] \\
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \dot{x}_1 [/mm] = v [mm] \\
[/mm]
[mm] \underline{\dot{x}}_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & -\frac{b}{m}
\end{bmatrix}\\
[/mm]
y = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} \underline{x}\\
[/mm]
[mm] \underline{\underline{A}} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & -\frac{b}{m}
\end{bmatrix}\\
[/mm]
[mm] \underline{B} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
0\\
\frac{1}{m}
\end{bmatrix}\\
[/mm]
[mm] \underline{C} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}1 & 0
\end{bmatrix}\\
[/mm]
D = 0.
Für den Kalmanfilter gelte (geschätzte Größen sind mit einer Tilde gekennzeichnet)
[mm] \underline{\dot{\tilde{x}}} [/mm] = [mm] \underline{\underline{A}} \underline{\tilde{x}}+ \underline{B}u+ \underline{K}(y-\tilde{y}).\hfill [/mm] (2)
Verständnisfragen
Beobachter können als ein Satz von P-Reglern interpretiert werden, welche den Beobachtungsfehler (mit ggf. $
[mm] \underline{C} =\begin{bmatrix}1 & 1
\end{bmatrix})) y-\tilde{y}$ [/mm] auf die einzelnen Zustände zurückführen. Sind die Zustände mit den SI-Einheiten
[mm] [\underline{x}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
m \\
m/s
\end{pmatrix}
[/mm]
bzw.
[mm] [\underline{\dot{x}}] =\begin{pmatrix}
m/s \\
m/s^2
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (3)
versehen, folgt für den Beobachtungsfehler
[mm] [\underline{e}] [/mm] = [mm] [\underline{x}-\underline{\tilde{x}}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
m \\
m/s
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (4)
und so müsste von der Plausibilität her für die Einheiten von [mm] $\underline{K}$ [/mm] gelten:
[mm] [\underline{K}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1/s \\
1/s^2
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (5)
Frage 1: Ist dies soweit korrekt?
Nun zur Auslegung des Filters für das anfangs beschriebene System, angenommen auf die beschriebene Strecke wirke eine Prozessstörung [mm] $\underline{v}$ [/mm] in Form einer Störbeschleunigung und der Sensor unterliege einem Rauschen $w$, einheitentechnisch gilt somit
[mm] [\underline{v}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
0 \\
m/s^2\\
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \newline
[/mm]
[w] = m.
In dem Buche Entwurf robuster Regelungen von Kai Müller ist angegeben, dass die Verstärkung des Kalmanfilters gemäß
[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \underline{\underline{P}}\underline{C}^TR^-1
[/mm]
errechnet werden kann, wobei [mm] $\underline{\underline{P}}$ [/mm] die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers [mm] $\underline{e}$ [/mm] ist und $R$ die Kovarianz(-matrix) des Messfehlers ist. Die Kovarianz lässt sich nach
[mm] Cov(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}[(x_i [/mm] - [mm] \overline{x})(y_i-\overline{y})]\hfill [/mm] (6)
berechnen, wobei [mm] $\overline{x}$ [/mm] und [mm] $\overline{y}$ [/mm] die Mittelwerte darstellen. Für [mm] $\underline{\underline{P}}$ [/mm] als Matrix gilt mit der Definition von [mm] $\underline{e}$ [/mm] von weiter oben
[mm] \underline{\underline{P}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
Cov(e_1,e_1) & Cov(e_1,e_2) \\
Cov(e_2,e_1) & Cov(e_2,e_2) \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\sigma_{e_1e_1}^2 & Cov(e_1,e_2) \\
Cov(e_2,e_1) & \sigma_{e_2e_2}^2) \\
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (7)
und mit den Einheiten
[mm] [\underline{\underline{P}}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
m^2 & m^2/s \\
m^2/s & m^2/s^2 \\
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (8)
Für $R$ als Kovarianz des Messfehlers folgt in SI letztlich
[R] = [Cov(w,w)] = [mm] [\sigma_{ww}^2] [/mm] = [mm] m^2. \hfill [/mm] (9)
Frage 2: Soweit richtig?
Jetzt kann das ganze eingesetzt werden, mit
[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \underline{\underline{P}}\underline{C}^TR^-1
[/mm]
folgt mit der verwendeten Systembeschreibung
[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
m^2 & m^2/s \\
m^2/s & m^2/s^2
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}\cdot \frac{1}{m^2}=\begin{pmatrix}
m^2 \\ m^2/s
\end{pmatrix}\cdot \frac{1}{m^2}=\begin{pmatrix}
1 \\ 1/s
\end{pmatrix}\hfill [/mm] (10)
Frage 3: Jetzt komme ich zu einem Einheitenkonflikt und der eigentlichen Frage. Die berechneten Einheiten für [mm] $\underline{K}$ [/mm] stimmen nicht mit denen aus der Plausibilitätsbetrachtung in Gleichung (5) überein, d.h.
[mm] [\underline{K}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1/s \\ 1/s^2
\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}
1 \\ 1/s
\end{pmatrix}
[/mm]
Kann jemand einen Fehler erkennen oder mir erklären, warum das ganze dennoch funktioniert?
Vielen Dank schon mal,
Alex
/* Crosspostguard
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=228092
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Fr 12.05.2017 | | Autor: | Infinit |
Hallo kalmanfilterPLS,
herzlich willkommen hier im Forum.
Ich habe zunächst einmal probiert, Deine Ausgangsgleichung einheitenmäßig zu verstehen. Da komme ich allerdings schon nicht weiter.
[mm] F = ma [/mm] ist ja noch bekannt und stimmt auch mit den Einheiten, aber der zweite Term kann so nicht stimmen. Ein Reibungskoeffizient ist dimensionslos und die Geschwindigkeit hat die Einheit m/s. Da werden schon Äpfel und Birnen addiert und dass der Rest nicht stimmen kann, ist dann einleuchtend. Bitte überprüfe doch zunächst einmal Deine Ausgangsgleichung, bevor Du Umformungen machst.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
lieben Dank dass Du Dir die Zeit genommen hast um das Problem anzuschauen :). Ich war das Wochenende unterwegs und kann daher erst jetzt qualifiziert anworten.
Ich habe saloppe Terminologie verwendet, b ist kein Reibungskoeffizient sondern beschreibt das Dämpfungsverhalten. Damit es von den Einheiten her passt, sind in der Bewegungsdifferentialgleichung
F = ma+bv = [mm] m\ddot{x}+b\dot{x}
[/mm]
die Einheiten
[mm] \frac{kg\cdot m}{s^2} [/mm] = [mm] kg\frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{kg}{s}\frac{m}{s}
[/mm]
und die Einheit für b geht daraus als nicht dimensionslos hervor. Daher würde ich sagen dass meine Frage noch offen ist.
Abseits davon gebe ich Dir aber vollkommen recht, ist wäre b ein dimensionsloser Reibungskoeff., so wäre die ganze Folgerechnung murks gewesen :)
Liebe Grüße,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 12.06.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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