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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1
Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mi 07.08.2013
Autor: SaskiaCl

Aufgabe
a Einheit in [mm] Z_n \gdw [/mm] ggt(a,n)=1

Guten Tag,
Beweis:
a Einheit in [mm] Z_n \Rightarrow \exists [/mm] b mit a*b=1 mod n
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=r*n+1
[mm] \Rightarrow [/mm] a und n teilerfrembt

Sei x Nullteiler
wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?

Danke


        
Bezug
Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Mi 07.08.2013
Autor: fred97


> a Einheit in [mm]Z_n \gdw[/mm] ggt(a,n)=1
>  Guten Tag,
>  Beweis:
>  a Einheit in [mm]Z_n \Rightarrow \exists[/mm] b mit a*b=1 mod n
>  [mm]\Rightarrow[/mm] ab=r*n+1
>  [mm]\Rightarrow[/mm] a und n teilerfrembt


Was ist " teilerfrembt" ? Ein Verschreiber kann das nicht sein, wenn ich auf meine Tastatur schaue !  Gemeint ist wohl  "teilerfremd".

Die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist O.K. Was ist mit der Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] ?

>  
> Sei x Nullteiler
> wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?

Von welcher Gleichung sprichst Du ????


FRED

>  
> Danke
>  


Bezug
                
Bezug
Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 Mi 07.08.2013
Autor: SaskiaCl


> > Sei x Nullteiler
> > wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
>  
> Von welcher Gleichung sprichst Du ????

x*b=r*n +1
wobei  mich das wohl nicht zum Ziel bringt

Für einen Nullteiler x gilt:
x*b=r*n

Leider komme ich da nicht weiter


Bezug
                        
Bezug
Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mi 07.08.2013
Autor: felixf

Moin!

> > > Sei x Nullteiler
> > > wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
>  >  
> > Von welcher Gleichung sprichst Du ????
>  
> x*b=r*n +1
> wobei  mich das wohl nicht zum Ziel bringt
>
> Für einen Nullteiler x gilt:
>  x*b=r*n

Mit $0 < b < |n|$, das ist hier noch wichtig.

Aber weisst du denn schon, dass jede Nicht-Einheit in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] bereits ein Nullteiler ist? Das ist durchaus eine nicht-triviale Aussage!

> Leider komme ich da nicht weiter

Zeige doch lieber die andere Richtung: ist $ggT(a, n)  = 1$, so ist $a + [mm] n\IZ$ [/mm] eine Einheit in [mm] $\IZ/n\IZ$. [/mm] Dazu verwende das Lemma von Bezout.

LG Felix


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