Einfluss von X1 auf Y? < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stellen Sie sich vor, Sie haben die Vermutung, daß $Y$ durch die zwei Merkmale [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] beeinflußt wird: [mm] $Y=\theta_0+\theta_1 X_1+\theta_2X_2+\theta_3X_1X_2+U$. [/mm] Es seien die unten folgenden Daten gegeben. Testen Sie zum Niveau [mm] $\alpha=0,05$, [/mm] ob [mm] $X_1$ [/mm] einen Einfluss auf $Y$ hat.
$$
[mm] \begin{array}{c|cccccccccc}\\
\hline
x_1 & 4 & 6 & 3 & 8 & 3 & 4 & 9 & 7 & 13 & 10\\
x_2 & 148 & 155 & 138 & 142 & 177 & 159 & 158 & 143 & 153 & 162\\
y & 296 & 303 & 285 & 288 & 324 & 304 & 305 & 291 & 300 & 310\\
\hline
\end{array}
[/mm]
$$
$$
[mm] \begin{array}{c|cccccccccc}\\
\hline
x_1 & 5 & 8 & 3 & 6 & 7 & 11 & 6 & 9 & 7 & 10\\
x_2 & 158 & 139 & 153 & 144 & 157 & 167 & 139 & 142 & 155 & 144\\
y & 307 & 287 & 300 & 292 & 305 & 315 & 286 & 187 & 304 & 290\\
\hline
\end{array}
[/mm]
$$ |
Guten Abend,
mich verwirrt der Summand [mm] $\theta_3X_1X_2$; [/mm] wenn der da nicht stünde, würde ich Folgendes Testproblem haben:
[mm] $H_0: \theta_1=0$ [/mm] versus [mm] $H_1: \theta_1\neq [/mm] 0$.
Aber so wie es da steht, weiß ich jetzt gerade nicht weiter...
Edit:
Vielleicht:
[mm] $H_0: \theta_1=\theta_3=0$ [/mm] versus [mm] $H_1: \theta_i\neq [/mm] 0$ für mindestens ein $i=1,3$
Vielleicht kann ich das als zwei Tests jeweils zum Niveau $0,05$) machen?
Test 1:
[mm] $H_0: \theta_1=0$ [/mm] versus [mm] $H_1: \theta_1\neq [/mm] 0$
Test 2:
[mm] $H_0: \theta_3=0$ [/mm] versus [mm] $H_1: \theta_3\neq [/mm] 0$
und wenn ich bei mindestens einem Test die Nullhypothese ablehnen kann, dann ist die Nullhypothese [mm] $\theta_1=\theta_3=0$ [/mm] abzulehnen und man weiß, dass [mm] $X_1$ [/mm] einen Einfluss auf $Y$ besitzt?
VG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mi 18.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Vielleicht:
>
> [mm]H_0: \theta_1=\theta_3=0[/mm] versus [mm]H_1: \theta_i\neq 0[/mm] für
> mindestens ein [mm]i=1,3[/mm]
>
Ja. Im Rahmen des linearen Regressionsmodells is tes moeglich, sog. lineare Hypothesen der Form [mm] $R\beta=0$ [/mm] mittels eines F-Tests zu pruefen.
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Hallo, luis52!
Sehr vielen Dank fuer Deine Antwort!
Ich habe das mit R durchgeführt:
| 1: | rm(list=ls(all=TRUE))
| | 2: |
| | 3: | R <- matrix(c(0,1,0,0,0,0,0,1), ncol=4, byrow=T)
| | 4: |
| | 5: | x1 <- c(4,6,3,8,3,4,9,7,13,10,5,8,3,6,7,11,6,9,7,10)
| | 6: | x2 <- c(148,155,138,142,177,159,158,143,153,162,158,139,153,144,157,167,139,142,155,144)
| | 7: | y <- c(296,303,285,288,324,304,305,291,300,310,307,287,300,292,305,315,286,187,304,290)
| | 8: | x3 <- x1*x2
| | 9: |
| | 10: | linReg <- lm(y ~ x1 + x2 + x3)
| | 11: |
| | 12: | attach(linReg)
| | 13: |
| | 14: | t(R%*%coefficients)
| | 15: |
| | 16: | X <- matrix(c(rep(1,20),x1,x2,x3), ncol=4, byrow=F)
| | 17: |
| | 18: | M <- solve(t(X)%*%X)
| | 19: |
| | 20: | N <- solve(R%*%M%*%t(R))
| | 21: |
| | 22: | Zaehler <- ((t(R%*%coefficients))%*%N%*%(R%*%coefficients))/2
| | 23: |
| | 24: | Nenner <- sum((X%*%coefficients-y)^2)/16
| | 25: |
| | 26: | F <- Zaehler/Nenner
| | 27: |
| | 28: | F > qf(0.95,2,16) |
Es ergibt sich für die F-Statistik
$F=1.009$
und das $0.95$- Quantil [mm] $Q_{2,16}^F(0.95)$ [/mm] der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden $2$ und $16$ beträgt $3.6337$.
Somit gilt $F< [mm] Q_{2,16}^F(0.95)$,
[/mm]
d.h. die Nullhypothese
[mm] $H_0: \theta_1=\theta_3=0$
[/mm]
kann nicht verworfen werden. Das bedeutet, dass [mm] $X_1$ [/mm] keinen Einfluss auf $Y$ hat.
Liege ich richtig?
Mit vielen Grüßen!
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Und ein noch größerer Genuss ist es, wenn man so kompetente Hilfe bekommt.
Herzlichen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
