Einfacher Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 07.12.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass [mm] $\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+2}{2^n}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ gilt. |
Hallo,
bis jetzt hab ich die Induktionsbeweise immer hinbekommen, nur hier komm ich nicht weiter. Ich stell mal meinen Rechenweg dar und hoffe, ihr könnt mir helfen.
IA: Sei n=1
[mm] $\summe_{k=1}^{1} \bruch{k}{2^k}=\bruch{1}{2}=2-\bruch{1+2}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] w.A.
IV: Die Gleichung [mm] $\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+2}{2^n}$ [/mm] gilt.
IS:
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+3}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^k}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{n+2}{2^n}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{2n+4}{2^{n+1}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{3n+5}{2^{n+1}}
[/mm]
Und da mein bisheriges Ergebnis ja leider nicht mit dem Ergebnis übereinstimmt, was ich zeigen soll, bin ich etwas ratlos...
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 07.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
IS:
> Zu zeigen: $ [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+3}{2^{n+1}} [/mm] $
> $ [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^k}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{n+2}{2^n}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{2n+4}{2^{n+1}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2-\bruch{3n+5}{2^{n+1}} [/mm] $
Es scheitert am Rechnen:
2 - [mm] \frac{n+2}{2^n} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = 2 + [mm] \frac{-2n-4+n+1}{2^{n+1}} [/mm] = 2 + [mm] \frac{-n-3}{2^{n+1}} [/mm] = 2 - [mm] \frac{n+3}{2^{n+1}}
[/mm]
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 So 07.12.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank, das hab ich mal wieder übersehen! :D
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