Einfache Extremwertprobleme < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | | Diem Punkte A (-u/0), B (u/0), C (u/f(u)) und D (-u/f(-u)), 0 [mm] \le \leu u\le3, [/mm] des Schaubildes von f mit f(x)=-x²+9 bilden ein Rechteck. Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechteckes ABCD maximal? Wie groß ist der maximale Inhalt (Umfang)?? |
Hallo!
Ich habe überhaupt gar keine Ahnung wie ich die Aufgabe anfangen soll! Im Buch steht noch am Rand eine Skizze! Die sieht ungefähr so aus das unter der nach unten geöffneten Normalparabel ein Rechteck ist! Alles noch überhalb der x-Achse! Was muss ich rechnen? Ich gehe in Schleswig-Holstein aufs Gymnasium in die 11 Klasse!
Danke schon mal für Antworten! Bitte möglichst schnell! =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mo 08.05.2006 | | Autor: | statler |
> Diem Punkte A (-u/0), B (u/0), C (u/f(u)) und D (-u/f(-u)),
> 0 [mm]\le \leu u\le3,[/mm] des Schaubildes von f mit f(x)=-x²+9
> bilden ein Rechteck. Für welches u wird der Flächeninhalt
> (Umfang) des Rechteckes ABCD maximal? Wie groß ist der
> maximale Inhalt (Umfang)??
> Hallo!
> Ich habe überhaupt gar keine Ahnung wie ich die Aufgabe
> anfangen soll! Im Buch steht noch am Rand eine Skizze! Die
> sieht ungefähr so aus das unter der nach unten geöffneten
> Normalparabel ein Rechteck ist! Alles noch überhalb der
> x-Achse! Was muss ich rechnen? Ich gehe in
> Schleswig-Holstein aufs Gymnasium in die 11 Klasse!
Wo? In Quickborn?
Hallo Lisa!
Um mal mit der Fläche anzufangen: Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Kannst du daraus die Fläche berechnen? Und weißt du, wie man ein Extremum bestimmt?
Nach deinen Antworten geht's weiter...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Hä?? Ich weiß nicht wie lange die Seiten sind! Ich habe wirklich keine Ahnung! Unser Lehrer sagte auch das wir die Aufgabe eigentlich gar nicht lösen können, sie aber mehr zu zum Knobbeln da ist! Deshalb, mein matheverständnis ist nicht so toll!
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Bei derartigen Aufgaben stets eine Skizze machen, das hilft immer weiter!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Flächeninhalt eines Rechteckes ermittelt sich zu:
[mm] $A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ a*b$
Dabei beträgt unsere (horizontale) Grundseite von der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -u$ bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +u$ .
Die Länge dieser Strecke lautet also: $b \ = \ u-(-u) \ = \ u+u \ = \ 2u$
Die zugehörige Höhe des Rechteckes wird gebildet durch den jeweils zugehörigen Funktionswert an der Stelle $u_$ : $a \ = \ f(u) \ = \ [mm] 9-u^2$ [/mm] .
Setzen wir dies nun in die Flächenformel ein, erhalten wir unsere Zielfunktion $A(u)_$ , für welche die Extremwertberechnung (also Nullstellen der 1. Ableitung etc.) erforderlich ist:
$A(u) \ = \ a*b \ = \ [mm] \left(9-u^2\right)*2u [/mm] \ = \ [mm] 18u-2u^3$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ach super danke für die Antwort!
Muss ich jetzt die Ableitung bilden oder bin ich schon fertig??
Die Ableitung wäre dann A`(u)=18-6u²!
Oder?? Und was soll ich jetzt damit berechnen??
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa!
Nein, die Ermittlung der Zielfunktion $A(u) \ = \ [mm] 18u-2u^3$ [/mm] war erst ein Zwischenschritt.
Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung erforderlich: also die ersten beiden Ableitungen ermitteln.
Anschließend dann die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: $A'(u) \ = \ [mm] 18-6u^2 [/mm] \ = \ 0$ . Jetzt nach [mm] $u_E [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Um zu kontrollieren, ob es sich bei [mm] $u_E$ [/mm] auch um ein (relatives) Maximum handelt, müssen wir diesen Wert in die 2. Ableitung einsetzen.
Dann muss gelten: [mm] $A''(u_E) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ .
Nun noch den zugehörigen Funktionswert [mm] $A_{\max} [/mm] \ = \ [mm] A(u_E)$ [/mm] berechnen ... fertig!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja die 2 Ableitung geht A"(u)= -12u
Wenn ich die 1 Abeitung nach u umstelle kommt u=3 raus!
Wenn ich u=3 in die 2 Ableitung einsetzte komt A"<0 raus!
Aber wenn ich u jetzt in A(U) einsetze kommt 0 raus?!??!?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Ja die 2 Ableitung geht A"(u)= -12u
Jau, das stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Wenn ich die 1 Abeitung nach u umstelle kommt u=3 raus!
> Wenn ich u=3 in die 2 Ableitung einsetzte komt A"<0 raus!
> Aber wenn ich u jetzt in A(U) einsetze kommt 0
> raus?!??!?!?
Auch die letzte Aussage ist richtig, für u=3 würde null heraus kommen. Leider machst du einen Fehler bei der ersten Ableitung, und zwar ziehst du nicht die Wurzel:
$ A'(u) \ = \ [mm] 18-6u^2 [/mm] \ = \ 0 | [mm] +6u^2$
[/mm]
[mm] $6u^2=18 [/mm] | :6$
[mm] $u^2=3 [/mm] | [mm] \sqrt{}$ [/mm]
[mm] $u_1 [/mm] = [mm] \sqrt{3}$
[/mm]
[mm] $u_2 [/mm] = [mm] -\sqrt{3}$
[/mm]
Das negative Ergebnis wird wahrscheinlich wenig Sinn machen.
Alles klar?
VG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
So jetzt habe ich raus das der Maximale Flächeninhalt ca. 20,8 ist!
also wird für u= [mm] \wurzel{3} [/mm] der Flächeninhalt des Rechtecks maximal!
Wir bei u= [mm] \wurzel{3} [/mm] auch der Umfang des Rechtecks maximal??
Der maximale Inhalt ist also 20,8!
Aber wiegroß ist der maximale Umfang??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mo 08.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
s.u.!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Stimmt das überhaupt mit dem Flächeninhalt von ca. 20, 8??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 08.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
richtig, du setzt [mm] u_{E} [/mm] in die Zielfunktion ein A(u),
habe mal [mm] \wurzel{3} [/mm] in A eingesetzt: 20,8.
Der Umfang ist aber eine andere Funktion, sodaß man hierfür eine neue Zielfunktion aufstellen muß. Der Umfang eines Rechtecks ist definiert als:
U= a+b+a+b = 2a + 2b
U= 2*(2u) + 2*(f(u))
gruss
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Hää?? Das checkt ich jetzt nicht mehr das mit dem Umfang! Die erste Gleichung da schon noch! Aber die 2?? Hä??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 08.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
zunächst bitte ich dich um eine etwas angemessenere sprache!
mach dir klar, wie lang deine seiten sind,
(s. skizze)
du hast
a = 2u
b = f(u)
gruss
wolfgang
|
|
|
|
