Eine Potenzreihe, die konvergiert.... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe da eine Aufgabe auf meinem Übungsblatt bei der ich nicht so richtig weiter komme. Wäre für jede erdenkliche Hilfe äußerst dankbar.... !
Aufgabe:
Man bestimme alls z Element der komplexen Zahlen, für welche die Potenzreihe [mm] z^k/k [/mm] für die Summe von k=1 bis unendlich konvergiert.
Vielen lieben Dank für die Hilfe im voraus,
Gruß,
Der_Literat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Der_Literat,
> ..welche die Potenzreihe [mm] z^k/k [/mm] für die Summe von k=1 bis
> unendlich konvergiert.
Also: [mm] ${\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k}}$ [/mm]
Na, dann schreiben wir das doch erst einmal ein bisschen um:
[m]{\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k}}
={\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}*(z-0)^k}[/m], d.h., wenn wir [m]z_0:=0[/m] und [mm] $a_k:=\bruch{1}{k}$ [/mm] definieren, dann gilt:
[m]{\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k}}
={\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}*(z-0)^k}
={\summe_{k=1}^{\infty} a_k*(z-z_0)^k}[/m]
Und nun schau dir mal den Satz von Cauchy-Hadamard an:
![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Satz 16.2, S.150
(Beachte aber bei 16.2.2, dass dort keine Aussage getroffen wird, wenn [m]\begin{vmatrix}
z-z_0\end{vmatrix} =\frac{1}{a}[/m] gilt. Also: den Fall, dass [m]\begin{vmatrix}
z-z_0\end{vmatrix} =\frac{1}{a}[/m] gilt, musst du gesondert untersuchen, in der Hoffnung, dass man eine Aussage treffen kann!)
(Wenn du dir den Beweis zu Cauchy-Hadamard anguckst, dann solltest du auch (mal wieder) an das Wurzelkriterium erinnert werden.
(Und wenn man den Ausdruck Wurzelkriterium nur hört/liest, dann sollte auch das Quotientenkriterium wieder "im Gedächtnis erscheinen".  ))
Probier einfach mal, wie weit du mit Cauchy-Hadamard kommst. Wenn du Lust hast, kannst du dir auch mal überlegen, ob man die Aufgabe nicht direkt mit dem Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium hätte lösen können (bis auf gewisse Ausnahmen, die aus den jeweiligen Kriterien resultieren; schau dir dazu im Skript z.B. einmal 6.21.2 (Seite 59) an, dort kann man mithilfe des Quotientenkriteriums keine Aussage treffen...).
Du kannst dann deine Lösung(en)/Ergebnisse hier präsentieren oder weitere Fragen stellen 
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:14 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Der_Literat,
da du dich bis jetzt nicht zurückgemeldet hast, gehe ich davon aus, dass du bei dieser Frage keine weitere Hilfe benötigst und setze sie damit auf vollständig beantwortet.
Falls du dennoch Hilfe benötigst, dann hänge einfach deine Fragen an diesen Thread an, oder setze bei einer neuen Frage bzgl. dieser Aufgabe bitte einen Verweis auf diesen Thread...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel!
Ich habe mich heute erst wieder an diese Aufgabe gesetzt, da ich vorher noch LA Aufgaben zu rechnen hatte. Was Du geschrieben hast, habe ich verstanden. Leider weiß ich dennoch nciht so richtig, wie ich weitermachen soll. Ich habe nun die drei Kriterien
a = 0 -> Konvergenz
o kleiner a kleiner unendlich
Konvergenz für alle I z - z0I größer 1/a
Divergenz für alle Iz-z0I kleiner 1/a
Divergenz für a = unendlich
Aber wie bringe ich das nun in Verbindung? Das ist eigentlich gerade bei der ganzen Analysis das Problem. Ich brauche einfach mal ein paar Beispiele um das nachzuvollziehen. Kennst Du da vielleicht eine Seite/Buch o.ä. wo man das einfach mal vorgerechnet bekommt?
Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe im voraus,
Der_Literat
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Der_Literat,
> Hallo Marcel!
>
> Ich habe mich heute erst wieder an diese Aufgabe gesetzt,
> da ich vorher noch LA Aufgaben zu rechnen hatte.
Okay
> Was Du
> geschrieben hast, habe ich verstanden. Leider weiß ich
> dennoch nciht so richtig, wie ich weitermachen soll.
> Aber wie bringe ich das nun in Verbindung? Das ist
> eigentlich gerade bei der ganzen Analysis das Problem. Ich
> brauche einfach mal ein paar Beispiele um das
> nachzuvollziehen. Kennst Du da vielleicht eine Seite/Buch
> o.ä. wo man das einfach mal vorgerechnet bekommt?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") (und ich habe jetzt auch keine Lust, im Internet zu suchen), aber frag doch einfach hier nach (allerdings werde ich leider vor kommenden Montag vermutlich nicht mehr hier aushelfen können, zumindest nicht viel)
Aber ich helfe dir jetzt noch ein bisschen, dazu hier nochmal unser bisheriges Ergebnis:
[m]z_0:=0[/m] und [mm] $a_k:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
und nun schauen wir uns Cauchy-Hadamard an:
Dazu brauchen wir $a$ mit [mm] $a=limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{|a_k|}$.
[/mm]
Was dir bekannt sein sollte, ist, dass, wenn der Grenzwert einer (reellen) Folge existiert, die Folge den gleichen [mm] $\overline{lim}=limsup$ [/mm] hat, d.h. [m]\overline{lim}=lim[/m].
Es gilt:
[m]\limes_{k \to \infty}\wurzel[k]{k}=1[/m] (das habt ihr bestimmt schon einmal irgendwo als Ergebnis herausbekommen, oder?), also folgt:
[m]1=\frac{1}{1}=\frac{1}{\limes_{k \to \infty}\wurzel[k]{k}}=\limes_{k \to \infty}{\frac{1}{\wurzel[k]{k}}=\limes_{k \to \infty}{\wurzel[k]{\frac{1}{k}}}=\limes_{k \to \infty}{\wurzel[k]{|a_k|}=limsup_{k \to \infty}{\wurzel[k]{|a_k|}=a[/m], d.h. $a=1$.
Ich denke, damit solltest du nun alleine weiterkommen, wenn du noch einmal in 16.2.2 (Satz von Cauchy-Hadamard) hineinguckst. Bei Schwierigkeiten frage weiter nach, auch, wenn ich vermutlich vor Montag nicht mehr antworten kann. Dann bekommst du halt die Antwort von jemand anderem
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
|
