Eindimensionales Lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $M\subset\mathbb{R}$ mit $\lambda_1^\*(M)<\infty$, wobei $\lambda_1^\*$ das eindimensionale äußere Lebesgue-Maß bezeichne. Dann existiert für jedes $\epsilon >0$ eine offene Umgebung $O$ von $M$ mit $\lambda_1^\*(O)<\lambda_1^\*(M)+\epsilon. |
Als Tipp wurde uns die Betrachtung von Mengen $\left\{x : h(x)>a\rght\}$, für $a\in\mathbb{R}$ und $h:\mathbb{R}\to[0,\infty]$ halbstetig von unten, gegeben.
Doch ich komme damit einfach auf keinen sinnvollen Ansatz. Klar ist, dass für solche halbstetigen Funktionen die gegebene Menge offen ist; also ein potentieller Kandidat für $O$.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
EDIT:
Wir haben das äußere Lebesgue-Maß als $\lambda_1^\* : A\mapsto I_1^\*(1_A)$ definiert, wobei $I_1 : C_c(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$, $f\mapsto\int_{-R}^Rf(x) dx$ das Riemannsche Integral, $I_1^\* : H^+\to[0,\infty]$, $f\mapsto\sup_{g\in C_c^+ :g\le f}I_1(g)$, $C_c^+$ die Menge der stetigen Funktionen $\mathbb{R}\to [0,\infty]$ mit kompaktem Träger, $H^+$ die Menge der von unten halbstetigen Funktionen $\mathbb{R}\to [0,\infty]$ und 1_A die Indikatorfunktion (bzw. charakteristische Funktion) der Menge $A\subseteq\mathbb{R}$ ist.
Für Funktionen $f:\mathbb{R}\to [0,\infty]$, die nicht zwingend halbstetig von unten sind, haben wir $I_1^\*(f)=\inf_{g\inH^+:f\le g}I^\*(g)$ definiert.
Liebe Grüße
Differential
|
|
| |
|
Kann mir niemand einen kleinen Anstoß geben? Ich habe das Gefühl, dass es SO schwer eigentlich nicht ist. Mir fehlt nur eine Idee.
Liebe Grüße
Differential
|
|
|
| |
|
Hat wirklich niemand eine Idee oder fehlen Informationen in der Frage? Bitte gebt mir doch einen Anhaltspunkt
|
|
|
| |
|
Woran liegt es, dass mir niemand Antworten mag?
Liebe Grüße
Differential
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Woran liegt es, dass mir niemand Antworten mag?
vermutlich weil es ohne mehr Informationen nicht geht. Desweiteren solltest du darauf achten, dass das, was du schreiben willst, auch korrekt angezeigt wird.
Es wäre also notwendig mal zu wissen, wie ihr das äußere Lebesgue-Maß [mm] $\lambda^\*$ [/mm] (im übrigen solltest du * mit einem \ escapen) definiert habt. Denn wenn ihr es auf dem üblichen Weg gemacht habt, ist der Satz eigentlich trivial.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gonozal_IX,
und vielen Dank für Deine Antwort. Mir war am Anfang gar nicht klar, dass man das äußere Lebesgue-Maß auf verschiedene Arten definieren kann.
Ich habe nun unsere Definition im Eingangsbeitrag ergänzt. Ich hoffe, dass Ihr mir damit besser helfen könnt.
Liebe Grüße
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 12.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Fehlt immer noch etwas? Oder ist die Frage zu trivial. Möglicherweise fehlt mir einfach die Anschauung, aber ich komme hier wirklich nicht weiter.
Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand noch einen Tipp geben könnte.
Liebe Grüße
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
es fehlt nichts und die Frage ist auch alles andere als trivial. Ich halte es einfach nur für hirnrissig das Lebesgue-Maß so einzuführen, weil das meiner Meinung nach jeder Intuition widerspricht.
Für die Aufgabe braucht man wohl vor allem eins: Zeit und Lust sich damit zu beschäftigen, und beides habe ich gerade nicht zur Genüge 
Ist es denn wirklich wichtig oder nur eine normale Übungsaufgabe?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> es fehlt nichts und die Frage ist auch alles andere als
> trivial. Ich halte es einfach nur für hirnrissig das
> Lebesgue-Maß so einzuführen,
Dem schließe ich mich an !
FRED
> weil das meiner Meinung nach
> jeder Intuition widerspricht.
>
> Für die Aufgabe braucht man wohl vor allem eins: Zeit und
> Lust sich damit zu beschäftigen, und beides habe ich
> gerade nicht zur Genüge
>
> Ist es denn wirklich wichtig oder nur eine normale
> Übungsaufgabe?
>
> Gruß,
> Gono.
|
|
|
| |
|
Hi,
nun, ich sehe eigentlich jede Übungsaufgabe als "wirklich wichtig" an, aber da ich inzwischen mein persönliches Zeitlimit überschritten habe, werde ich gespannt auf die Muterlösung warten.
Es tut mir leid, dass unsere Definition hirnrissig ist ;) Ich bin um ehrlich zu sagen auch ein klein wenig an dieser Aufgabe verzweifelt.
Liebe Grüße
Differential
|
|
|
|
