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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Do 09.04.2015 | | Autor: | natural |
Hallo,
ich habe da eine kleine Verständnisfrage zum Eindeutigkeitsbeweis vom lokalen Satz von Picard-Lindelöf.
Sind x(t) und y(t) zwei stetige Lösungen so folgt:
||x(t)-y(t)||=|| [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{f(s,x(s))-f(s,y(s)) ds} [/mm] ||
[mm] \le [/mm] L [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{ || x(s)-y(s) || ds}
[/mm]
[mm] \le [/mm] LC [mm] |t-t_{0}|
[/mm]
wobei [mm] C:=max_{|t-t_{0}|\ler} [/mm] ||x(t)-y(t)||
Bisher alles verständlich. Nun wird gesagt, wenn diese Abschätzung in das obige Integral eingesetzt und iteriert wird dann folgt
||x(t)-y(t)|| [mm] \le L^{k} [/mm] C [mm] \bruch{|t-t_{0}|^{k}}{k!} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty [/mm]
Der Grenzwert ist auch trivial aber ich verstehe nich woher das k! im Nenner kommt?
Weiß jemand Rat?
mfG
natural
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Hallo natural,
setze das doch mal explizit für die nächsten Schritte ein, dann wirst du sehen, dass du immer Funktionen der Form [mm] x^k [/mm] integrierst angefangen bei [mm] x^1
[/mm]
Und davon die Stammfunktionen sind halt $x [mm] \to \bruch{x^2}{2} \to \bruch{x^3}{2*3} \to \bruch{x^4}{2*3*4} \to \ldots \to \bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichungen:_Existenztheorie:_Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f
