Eindeutigkeit v. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Berechne die allg. Lösung der DGL und zeige, dass sie eindeutig ist:
x' = -1 + [mm] e^{-x} [/mm] sin t |
Hallo,
ich hab eine Frage zu dieser Aufgabe, ich weiß nicht, wie man zeigt, dass eine Lösung eindeutig ist. Ich hoffe, ihr könnt mir ja weiter helfen.
Zuerst hab ich die DGL durch Substitution gelöst.
Die DGL ist doch von der Form X' + g(t) x = h(t) mit g,h [mm] \in [/mm] C(I), Definitionsbereich I [mm] \times [/mm] R. Dann ist die allg. Lösung doch von der Form x(t) = [mm] e^{-G(t)} [/mm] [ C + [mm] \integral_{tau}^{t}{h(s) e^{G(s)} ds}, [/mm] C [mm] \in \IR, [/mm] tau [mm] \in [/mm] I beliebig, G' = g.
Diese Definition hab ich auf die Aufgabe angewendet und erhalte:
x(t) = [mm] e^{cos t} [/mm] [ C + [mm] \integral_{tau}^{t}{h(s) e^{-cos(s)} ds} [/mm] = [mm] e^{cos t} [/mm] [ C - [mm] \integral_{tau}^{t}{ e^{-cos(s)} ds} [/mm] = [mm] e^{cos t} [/mm] C - [mm] e^{cos t} [e^{- cos s} \bruch{1}{sin s}] [/mm] = C [mm] e^{cos t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin t} [/mm] + [mm] e^{cos t - cos (tau)} \bruch{1}{sin (tau)} [/mm] = [mm] e^{cos t} [/mm] (C + [mm] \bruch{e^{cos(tau)}}{sin (tau)} [/mm] ) - [mm] \bruch{1}{ sin t}
[/mm]
Stimmt das erstmal so weit?
Und wenn das jetzt die Lösung der DGl ist, wie kann man denn zeigen, dass die Lösung eindeutig ist?
Ich weiß da nicht, was ich zeigen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:54 Mo 15.05.2006 | | Autor: | luster |
Die DGL ist doch von der Form X' + g(t) x = h(t), nein ich glaube, du hast hier doch nicht x' = -1 + xsin t , sonder x' =-1 + exp(-X)sin t , versuch eine Variablen Substitution durchzuführen, zetz -1 + exp(-X)sin t=y
dann rechne daraus dein x. dann rechne die Ableitung von y, und setz dorthin dein x, jetz kanst du die Gleihung mit Variablen transfotmation nach y lösen, also integrieren, und dann setz diesen y in deine gleichung für x.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort :), ich hab ja was ganz falsches gemacht.
Ich hab deine Tipps gefolgt und hab das gemacht:
Wenn ich jetzt y = -1 + exp(-x) sin t setze, dann ist doch x'= y oder?
Also ist x = 1/2 [mm] y^{2}
[/mm]
Und wenn ich jetzt nach y auflöse, dann bekomm ich |y| [mm] =\wurzel{2x}, [/mm] richtig?
Wie kann ich denn jetzt nach |y| ableiten? Ist das gleich y'?
Naja, dann hab ich einfach mal mit y' weiter gerechnet und bekomme:
y' = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
Umgeformt ergibt: y'- [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = 0
Ich hab eine Frage, wie kann ich das nach y auflösen?
Ich bin mir auch nicht sicher, wie die Ableitung vom Betrag, also |y|' = y' ist.
Ich hoffe, du oder jemand anders hilft mir weiter.
Vielen Dank nochmal.
VG, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Di 16.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moe
Die Antwort, die du hattest war falsch! (achte mal auf den math. background der Schreiber!)
mit der Transformation y=x-t, y'=x'-1 (x=y+t auch einsetzen kannst du deine Dgl so transformieren, dass du für y eine Dgl hast, die du separieren kannst.
Eindeutigkeit: gibt es nur für feste Anfangsbed.
Aber dazu vielleicht jemand anders oder morgen. Ich geh jetzt schlafen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 16.05.2006 | | Autor: | luster |
hallo leduart
mit der Transformation y=x-t, y'=x'-1 x=y+t , wird die -1 aus unsere differentialgleichung doch nicht gekürzt. macht man aber y=x+t, y'=x'+1, x=y-t bekommt man
y'=x'+1=exp(t-y)sint-1+1
dyexp(y)=exp(t)dtsint
exp(y)=exp(t)(sint-cost)0,5+c
y=ln(exp(t)(sint-cost)0,5+c)
x=y-t=ln(exp(t)(sint-cost)0,5+c)-t
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 16.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo luster, hallo leduart,
danke für eure Antworten. Welche Transformation ist denn nun die richtige?
Ich hab eine Frage zu lusters Lösung, und zwar, wie kommst du auf die Zeilen dy exp(y) = exp(t) dt sint und dann exp(y) = exp(t) (sint - cos t) 0,5 +c?
Mir ist das nicht so ganz klar.
Ich hoffe, du erklärst es mir,
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Di 16.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moe
> danke für eure Antworten. Welche Transformation ist denn
> nun die richtige?
Eigentlich solltest du das durch einsetzen sehen können!
Luster hat recht!
> Ich hab eine Frage zu lusters Lösung, und zwar, wie kommst
> du auf die Zeilen dy exp(y) = exp(t) dt sint und dann
> exp(y) = exp(t) (sint - cos t) 0,5 +c?
Wenn du deine Dgl schreibst:x'+1 [mm] =e^{-x}*sint; [/mm] jetzt y=x+t y'=x+1
dann hast du [mm] y'=e^{-(y-t)}*sint =e^{-y}*e^{t}sint
[/mm]
jetzt hast du doch schon "separation der Konstanten gemacht:
[mm] y'*e^{y}=e^{t}*sint
[/mm]
[mm] \integral{e^{y}dy}= \integral{e^{t}*sint dt}
[/mm]
Es ist üblich, hier KEINEGrenzen hinzuschreiben, sondern die Stammfkt. also links [mm] e^{y}+C1 [/mm] rechts 1/2 [mm] e^{t}*(sint-cost) [/mm] +C2
(entweder durch geschicktes Raten oder zweimalige part. Integration)
C1 und C2 weden zu einem C zusammengefasst:
[mm] $e^y=1/2*e^t*(sint-cost)+C [/mm] $ daraus y durch ln auf beiden Seiten.
jetzt noch in x zurückverwandeln , fertig ist die "allgemeine Lösung"
sie enthält noch C, das erst durch die Anfangsbedingung , meist x(0) festgelegt wird.
Eindeutig ist die Lösg nur für fest Anfangsbed. Du musst annehmen es gäb ne 2. Lösung z(t) mit den gl. Anfangswerten dann hat h(t)=x(t)-z(t) den Anfangswert 0, und du zeigst, dass zu Anfangswert 0 nur die fkt h=0 für alle t existiert.
daraus z(t)=x(t) also keine andere Lösung
Es wär schöner, du hättest mit der Transformation selber rumprobiert, und dann gefragt! Dann lernst du nämlich mehr!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Di 16.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo luster
du hast recht! ich hatte die Vorzeichen falsch. danke für die Verbesserung.
Gruss leduart
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