Eindeutigkeit der Quadratwurze < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1a) Sei $a [mm] \in [/mm] R$ mit $a > 1$ beliebig. Zeigen Sie:
Es existiert genau eine reelle Zahl, die mit [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] bezeichnet wird, für die gilt:
[mm] $\sqrt{a} [/mm] > 0$ und [mm] $(\sqrt{a})^2 [/mm] = a$.
1b) Folgern Sie daraus für beliebige $a [mm] \in [/mm] R$ mit $0 < a < 1$ die Existenz und Eindeutigkeit
einer Zahl [mm] $\sqrt{a} \in [/mm] R$, die folgende Eigenschaften erfüllt:
[mm] $\sqrt{a} [/mm] > 0$ und [mm] $(\sqrt{a})^2 [/mm] = a$. |
moin,
Zuerst mal zur a)
Eindeutigkeit:
Sei [mm] $x_1, x_2 [/mm] > 0$, sd. [mm] $x_1^2=x_2^2=a$
[/mm]
Behauptung: [mm] $x_1=x_2$
[/mm]
Annahme: [mm] $x_1 \ne x_2$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$ [/mm] oder [mm] $x_1 [/mm] > [mm] x_2$
[/mm]
Nun folgt daraus:
[mm] $a=x_1^2 [/mm] < [mm] x_2^2 [/mm] = a$
oder eben:
[mm] $a=x_1^2 [/mm] > [mm] x_2^2 [/mm] = a$
Was natürlich ein Widerspruch ist.
Somit ist die Eindeutigkeit bewiesen.
Zur Existenz:
Hier habe ich nur eine Idee:
Ich kreiere mir eine Menge $M := [mm] \left\{ x \in R | x \ge 1 und x^2=a \right\}$
[/mm]
Das [mm] $\ge [/mm] 1$ wegen der Vorraussetzung laut Aufgabenstellung
Diese Menge M ist nach Unten durch 1 beschränkt.
Daraus folgt: $infM := s$ exisitert, da ich ja eine untere Schranke habe, und die größte davon ist ja das Inf.
So, und nun komme ich nicht weiter. Ich habe gehofft, dass mir der obige Weg etwas weiterhilft, aber ich stecke nun absolut in der Sackgasse.
Ich verstehe auch den Unterschied zwischen Teilaufgabe a und b nicht. Macht es einen unterschied, ob ich das für a größer 1 oder a zwischen 0 und 1 beweise?
Hoffe auf einige Anregungen! :)
Michael
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Moin DJ,
> 1a) Sei [mm]a \in R[/mm] mit [mm]a > 1[/mm] beliebig. Zeigen Sie:
> Es existiert genau eine reelle Zahl, die mit [mm]\sqrt{a}[/mm]
> bezeichnet wird, für die gilt:
> [mm]\sqrt{a} > 0[/mm] und [mm](\sqrt{a})^2 = a[/mm].
>
> 1b) Folgern Sie daraus für beliebige [mm]a \in R[/mm] mit [mm]0 < a < 1[/mm] die Existenz und Eindeutigkeit
> einer Zahl [mm]\sqrt{a} \in R[/mm], die folgende Eigenschaften erfüllt:
> [mm]\sqrt{a} > 0[/mm] und [mm](\sqrt{a})^2 = a[/mm].
> moin,
>
> Zuerst mal zur a)
>
> Eindeutigkeit:
>
> Sei [mm]x_1, x_2 > 0[/mm], sd. [mm]x_1^2=x_2^2=a[/mm]
>
> Behauptung: [mm]x_1=x_2[/mm]
>
> Annahme: [mm]x_1 \ne x_2[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]x_1 < x_2[/mm] oder [mm]x_1 > x_2[/mm]
>
> Nun folgt daraus:
>
> [mm]a=x_1^2 < x_2^2 = a[/mm]
>
> oder eben:
>
> [mm]a=x_1^2 > x_2^2 = a[/mm]
>
> Was natürlich ein Widerspruch ist.
> Somit ist die Eindeutigkeit bewiesen.
Kurz: Sei [mm] x_1^2=x_2^2. [/mm] Ist [mm] x_1\neq x_2, [/mm] so koennen wir o. E. annehmen [mm] x_1
>
> Zur Existenz:
> Hier habe ich nur eine Idee:
>
> Ich kreiere mir eine Menge [mm]M := \left\{ x \in R | x \ge 1 und x^2=a \right\}[/mm]
Die Idee ist gut, die Argumentation schlaegt allerdings fehl, da die Menge leer sein koennte (Existenz ist noch zu zeigen).
Betrachte stattdessen die Menge
[mm] M:=\{z\geq0: z^2\leq a\}.
[/mm]
Diese ist nichtleer [mm] (0\in [/mm] M) und nach oben beschränkt. Daher hat sie wegen der Ordnungsvollständigkeit von [mm] \IR [/mm] ein Supremum s.
Nun muesste man noch zeigen, dass dieses Supremum gerade [mm] s^2=a [/mm] erfuellt.
Dafür muss man allerdings ein bisschen arbeiten. Eine indirekte Variante waere:
Angenommen [mm] s^2>a. [/mm] Dann zeigt man [mm] (s-\varepsilon)^2>a [/mm] für genuegend kleines [mm] \varepsilon. [/mm] Dann ist [mm] s-\varepsilon [/mm] eine obere Schranke von M und offenbar kleiner als das Supremum s (Widerspruch).
Angenommen [mm] s^2
LG
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> Die Idee ist gut, die Argumentation schlaegt allerdings
> fehl, da die Menge leer sein koennte (Existenz ist noch zu
> zeigen).
>
> Betrachte stattdessen die Menge
>
> [mm]M:=\{z\geq0: z^2\leq a\}.[/mm]
>
> Diese ist nichtleer [mm](0\in[/mm] M) und nach oben beschränkt.
> Daher hat sie wegen der Ordnungsvollständigkeit von [mm]\IR[/mm]
> ein Supremum s.
>
> Nun muesste man noch zeigen, dass dieses Supremum gerade
> [mm]s^2=a[/mm] erfuellt.
>
> Dafür muss man allerdings ein bisschen arbeiten. Eine
> indirekte Variante waere:
>
> Angenommen [mm]s^2>a.[/mm] Dann zeigt man [mm](s-\varepsilon)^2>a[/mm] für
> genuegend kleines [mm]\varepsilon.[/mm] Dann ist [mm]s-\varepsilon[/mm] eine
> obere Schranke von M und offenbar kleiner als das Supremum
> s (Widerspruch).
okaay, wir hatten in der Vorlesung diesen Fall für Wurzel 2 bewiesen
Hierzu haben wir uns ein [mm] $\epsilon$ [/mm] so defniert:
ich def. [mm] $\epsilon [/mm] := [mm] \frac{s^2-2}{2s}>0$
[/mm]
daraus folgt:
$(s - [mm] \epsilon )^2=s^2-2a \epsilon +\underbrace{ \epsilon^2}_{>0} [/mm] > [mm] a^2-2 \epsilon [/mm] a = 2$
Muss ich das in diesem Beweis ähnlich machen?
Vielleicht definiere ich
[mm] $\epsilon [/mm] := [mm] \frac{s^2-a}{2s}>0$
[/mm]
dann würde ich ja dies bekommen:
$(s - [mm] \epsilon )^2>a$
[/mm]
sry, stehe irgendwie auf dem Schlauch
>
> Angenommen [mm]s^2
> genuegend kleines [mm]\varepsilon[/mm] und erreicht damit einen
> Widerspruch dazu, dass s obere Schranke ist.
>
> LG
>
mfg,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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