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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Für welche [mm] $p\in(0,\infty)$ [/mm] besitzt das Anfangswertproblem
[mm] $x'=x^p, [/mm] x(0)=1$ eine eindeutige Lösung, dessen maximales Lösungsintervall
a) [mm] [0,\infty) \text{ enthält}
[/mm]
b) [mm] (-\infty,0] \text{ enthält?} [/mm] |
Hi! Diese Aufgabe wurmt mich zur Zeit etwas. Ich glaube, nämlich, da muss man einen Haufen Fallunterscheidungen machen:
Eine Lösung für die Differentialgleichung erhält man relativ schnell durch Trennung der Variablen:
Für $p=1$ ist das natürlich [mm] $e^t$ [/mm] (eindeutig).
Für [mm] $p\neq [/mm] 1$ ist eine Lösung [mm] $f(t)=((1-p)t+1)^{\frac{1}{1-p}}=exp(\frac{1}{1-p}log((1-p)t+1))$.
[/mm]
Ein Problem gibt es im zweiten Fall bei [mm] $t=-\frac{1}{1-p}$, [/mm] da dort der Logarithmus das Argument $0$ hätte.
Für $p<1$ ist also auf jeden Fall [mm] $t\geq [/mm] 0$ zulässig.
Für $p>1$ ist auf jeden Fall [mm] $t\leq [/mm] 0$ zulässig.
Für $p=1$ (siehe oben) ist ganz [mm] $\IR$ [/mm] zulässig.
Jetzt mein Problem mit der Eindeutigkeit der Lösungen:
Die Differentialgleichung (nicht das AWP) würde auch die Nullfunktion lösen.
Für $p<1$ schneidet die Funktion die x-Achse im Punkt [mm] $t=-\frac{1}{1-p}$. [/mm] Wegen der DGL hat die Funktion dort auch die Steigung 0, so dass auch
[mm] g(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<-\frac{1}{1-p} \\ f(t), & \mbox{für } t\geq -\frac{1}{1-p} \end{cases}
[/mm]
eine Lösung wäre.
Mein Problem: Ich habe ein wenig mit Mathematica und Geogebra rumprobiert... Mathematica meint, es gäbe bei irrationalem $p$ eventuell mehrere Lösungen. Außerdem gibt es bei $p=2k$ und [mm] $p=\frac{2k-1}{2k}$ [/mm] noch weitere Fälle zu unterscheiden.
Aber ich denke, das geht doch irgendwie noch leichter, oder? Hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr hattet ddoch sicher den Piccard _lidelöff?
Dann untersuch doch die lipschitzstetigkeit von [mm] x^p [/mm] bei x=0 in abh, von p
z. Bsp ist [mm] \wurzel{x} [/mm] bei 0 nicht L stetitig!
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:23 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Danke für deine Antwort, aber ist das nicht die falsche Richtung?
Ich meine, zu wissen, dass die Funktion nicht Lipschitzstetig ist, liefert noch nicht die Existenz mehrere Lösungen.
Es gilt ja
$f$ lipschitzstetig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] AWP eindeutige Lösung und nicht umgekehrt.
Gruß, Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 04.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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