Ein hypothetisches Experiment < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Diese Frage wurde in keinem Forum gestellt!!!!!!!
hi @ all,
ich wollte eure Meinung zu meiner Antwort auf eine Aufgabe hören!
Hier die Frage:
Eine Kugerl der MAsse m=100 kg bewege sich unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer Röhre, welche die Erde vom Nordpol zu Südpol durchstößt. Im Abstand r vom Mittelpunkt wirkt auf die Masse die Beschleunigung g(r)= [mm] g_{o}*r/R_{0} [/mm] (Erdradius [mm] R_{0}=6371km, [/mm] Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche [mm] g_{0}=-9,81m/s², [/mm] das Koordinatensystem ist so gewählt, dass eine Beschleunigung in r-Richtung also in in den Weltraum hinein als positiv gilt). Wird die Reibung vernachlässigt, dann führt die Masse eine harmonische Schwingung, um den Erdmittelpunkt aus. i) Geben Sie die Schwingungsgleichung zu diesem Problem an. ii) Wie groß ist die Schwingunggsdauer T? iii) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit [mm] v_{max} [/mm] der Kugel, wenn sie von der Oberfläche in Ruhe [mm] (v_{0}=0m/s) [/mm] losgelassen wird?
Also zu i)
Die allg. Schwingunsgleichung lautet:
[mm] x(t)=Asin(\omega*t)
[/mm]
hierbei ist A die Amplitude, was hier [mm] R_{0} [/mm] ist.
wir brauchen also noch unser [mm] \omega
[/mm]
Die Federkonstante D= [mm] \bruch{F}{s}= \bruch{mg(r)}{r}= \bruch{mg_{0}*r/R_{0}}{r} \approx [/mm] 1,5*10^-4
[mm] \omega= \wurzel{ \bruch{D}{m}} \approx [/mm] 1,24*10^-3
daraus folgt für die Schwingungsgleichung: [mm] s(t)=R_{0}sin(\wurzel{ \bruch{D}{m}}*t)
[/mm]
ii) für die Dauer gilt: T= [mm] \bruch{2 *\pi}{\omega} \approx [/mm] 5063,5
iii) für die Geschwindigkeit gilt: [mm] v=R_{0}*\omega \approx [/mm] 7900m/s
So, kann mir hier einer die Ergebnisse bestätigen?
ich danke schonmal im vorraus!!!!!!
Ares
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Di 14.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo ares
> Diese Frage wurde in keinem Forum gestellt!!!!!!!
Doch, hier ist einforum!
> hi @ all,
> ich wollte eure Meinung zu meiner Antwort auf eine Aufgabe
> hören!
> Hier die Frage:
>
> Eine Kugerl der MAsse m=100 kg bewege sich unter dem
> Einfluss der Schwerkraft in einer Röhre, welche die Erde
> vom Nordpol zu Südpol durchstößt. Im Abstand r vom
> Mittelpunkt wirkt auf die Masse die Beschleunigung g(r)=
> [mm]g_{o}*r/R_{0}[/mm] (Erdradius [mm]R_{0}=6371km,[/mm] Erdbeschleunigung
> auf der Erdoberfläche [mm]g_{0}=-9,81m/s²,[/mm] das
> Koordinatensystem ist so gewählt, dass eine Beschleunigung
> in r-Richtung also in in den Weltraum hinein als positiv
> gilt). Wird die Reibung vernachlässigt, dann führt die
> Masse eine harmonische Schwingung, um den Erdmittelpunkt
> aus. i) Geben Sie die Schwingungsgleichung zu diesem
> Problem an. ii) Wie groß ist die Schwingunggsdauer T? iii)
> Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit [mm]v_{max}[/mm] der
> Kugel, wenn sie von der Oberfläche in Ruhe [mm](v_{0}=0m/s)[/mm]
> losgelassen wird?
>
> Also zu i)
>
> Die allg. Schwingunsgleichung lautet:
>
> [mm]x(t)=Asin(\omega*t)[/mm]
Im Allgemeinen würde man die Differentialgleichung als Schwingungsgleichung angeben: Du hast eine Spezielle Lösung der Dgl. angegeben mit x(0)=0. man lässt die Kugel doch wohl an der Erdoberfläche los. Ausserdem sollte man r(t) schreiben, und eine allgemeine Lösung der Bewegungsgl. ist
[mm] r(t)=Asin(wt+\phi_{0}) [/mm] oder r(t)=A*sinwt + B*coswt
>
> hierbei ist A die Amplitude, was hier [mm]R_{0}[/mm] ist.
> wir brauchen also noch unser [mm]\omega[/mm]
>
> Die Federkonstante D= [mm]\bruch{F}{s}= \bruch{mg(r)}{r}= \bruch{mg_{0}*r/R_{0}}{r} \approx[/mm]
> 1,5*10^-4
Wenn es keine Feder gibt, sollte man nicht von Federkonstante reden. Die rücktreibende Kraft ist
F= [mm] -mg_{0}*r/R0 [/mm] Damit ist [mm] a=r''=-g_{0}/R0*r [/mm] daraus [mm] \omega=\wurzel{g_{0}/R0}
[/mm]
>
> daraus folgt für die Schwingungsgleichung:
> [mm]s(t)=R_{0}sin(\wurzel{ \bruch{D}{m}}*t)[/mm]
siehe oben, [mm] r(t)=R_{0}cos(\wurzel{g_{0}/R_{0}}*t)
[/mm]
>
> ii) für die Dauer gilt: T= [mm]\bruch{2 *\pi}{\omega} \approx[/mm]
> 5063,5
richtig
> iii) für die Geschwindigkeit gilt: [mm]v=R_{0}*\omega \approx[/mm]
> 7900m/s
richtig.
Also was ihr als Schwingungsgleichung bezeichnet musst du wissen!
Gruss leduart
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