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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 10.01.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Mit Startwerten x0,x1 e R wird rekursiv definiert xn+1:=1/2(xn+xn-1) , n e N
Es gilt : [mm] A^n \pmat{ x0 \\ x1 } [/mm] , A := [mm] \pmat{ 0& 1 \\ 1/2 & 1/2 }
[/mm]
also:xn=anx0+bnx1, wenn [mm] A^n= \pmat{ an & bn \\ * & * }
[/mm]
[mm] T=\pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie damit D=T^-1 *AT, die Potenzen [mm] D^n [/mm] und [mm] A^n [/mm] = TDT^-1TDT^-1...TDT^-1.
Ergebnis an=? , bn=? |
Hallo,
Habe nun mal mit D=T^-1AT angefangen zu rechnen.
erstmal habe ich die inverse von T bestimmt.
T^-1 [mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ -1/3 & 1/3 }
[/mm]
Multipliziert mit A ergibt
[mm] T^-1*A=\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Multipliziert mit T ergibt
T^-1*A*T = [mm] \pmat{ 5 & -1 \\ 1 & -2 }
[/mm]
Doch weis ich jetzt nicht wie es weitergehen soll. Wie komme ich an die Werte an und bn ?
lg
Micha
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> Mit Startwerten x0,x1 e R wird rekursiv definiert
> xn+1:=1/2(xn+xn-1) , n e N
> Es gilt : [mm]A^n \pmat{ x0 \\
x1 }[/mm] , A := [mm]\pmat{ 0& 1 \\
1/2 & 1/2 }[/mm]
>
> also:xn=anx0+bnx1, wenn [mm]A^n= \pmat{ an & bn \\
* & * }[/mm]
>
> [mm]T=\pmat{ 1 & -2 \\
1 & 1 }[/mm]
> Berechnen Sie damit D=T^-1 *AT,
> die Potenzen [mm]D^n[/mm] und [mm]A^n[/mm] = TDT^-1TDT^-1...TDT^-1.
[mm] $A^n=T\cdot D^n \cdot T^{-1}$
[/mm]
>
> Ergebnis an=? , bn=?
> Hallo,
> Habe nun mal mit D=T^-1AT angefangen zu rechnen.
> erstmal habe ich die inverse von T bestimmt.
> T^-1 [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\
-1/3 & 1/3 }[/mm]
>
> Multipliziert mit A ergibt
> [mm]T^-1*A=\pmat{ 2 & 3 \\
1 & 0 }[/mm]
Nein es kommt
[mm] $\left( \begin{array}{cc} 1/3&2/3\\ 1/6&-1/6\end{array} \right)$
[/mm]
raus
> Multipliziert mit T
> ergibt
> T^-1*A*T = [mm]\pmat{ 5 & -1 \\
1 & -2 }[/mm]
Folgefehler. Richtig wäre $D=diag(1,0.5)$
>
> Doch weis ich jetzt nicht wie es weitergehen soll. Wie
> komme ich an die Werte an und bn ?
>
> lg
> Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 10.01.2012 | | Autor: | Coup |
srry, ich hatte mich hier wohl bei dem A versehen
T^-1 = [mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ -1/3 & 1/3 } [/mm] * A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 0 } [/mm] * T= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & -1 \\ 1 & -2 } [/mm] ist das richtige Erbenis. Wie komme ich nun an an,bn ?
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> srry, ich hatte mich hier wohl bei dem A versehen
> T^-1 = [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\
-1/3 & 1/3 }[/mm] * A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
1/2 & 1/2 }[/mm]
Das ist eine ganz komische Zeile. Also entweder [mm]T^{-1}A[/mm] oder die Matrizen ausgeschrieben.
> = [mm]\pmat{ 2 & 3 \\
1 & 0 }[/mm] * T= [mm]\pmat{ 1 & -2 \\
1 & 1 }[/mm] =
Nein!
> [mm]\pmat{ 5 & -1 \\
1 & -2 }[/mm] ist das richtige Erbenis. Wie
Nein, die Matrix taucht bei mir nirgends auf.
> komme ich nun an an,bn ?
Ich schrieb doch schon
[mm]T^{-1}*A= \left( \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
-1/3&1/3\end {array} \right)\pmat{ 0 & 1 \\
1/2 & 1/2 }=\left( \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
1/6&-1/6\end {array} \right)[/mm]
Also [mm]T^{-1}AT= \left( \begin {array}{cc} 1&0\\
\noalign{\medskip}0&-1/2\end {array} \right)[/mm]
Jetzt ist [mm]A^n=(TDT^{-1})^n=\red{T}\blue{D^n}\green{T^{-1}}=\red{ \left( \begin {array}{cc} 1&-2\\
1&1\end {array}
\right)}\blue{\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1/2 }^n }
\green{\left( \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
-1/3&1/3\end {array} \right)}[/mm]
Bei Diagonalmatrizen kannst du die Potenz auf die Einträge in die Matriz hinein ziehen und dann rechnest du die farbenfrohe Zeile explizit aus (mit dem Exponent [mm] $n\;$ [/mm] auf die Einträge der Diagonalmatrix hinein gezogen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Coup |
Ich verstehe nicht wie du bei der Matrixmultiplikation von T^-1 *A auf
[mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/6 & -1/6 }
[/mm]
Ich rechne ja Zeilen*Spalten also für den ersten Wert: 1/3 * 0 + 2/3 * 1/2 = 2
bei dir aber = 0.
http://www.jetzt-rechnen.de/Mathematik/Matrixmultiplikation.html#
Kommt das gleiche bei raus.
Oder hab ich noch was übersehen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht wie du bei der Matrixmultiplikation von
> T^-1 *A auf
> [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/6 & -1/6 }[/mm]
wieschoo hat sich verrechnet.
>
> Ich rechne ja Zeilen*Spalten also für den ersten Wert:
> 1/3 * 0 + 2/3 * 1/2 = 2
Haä ? Du hast Dich auch verrechnet
FRED
> bei dir aber = 0.
> http://www.jetzt-rechnen.de/Mathematik/Matrixmultiplikation.html#
> Kommt das gleiche bei raus.
>
> Oder hab ich noch was übersehen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Wo habe ich mich verrechnet?
[mm]T:=\left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\
1&1\end {array} \right] [/mm]
[mm]T^{-1}= \left[ \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
-1/3&1/3\end {array} \right] [/mm]
[mm]A=\left[ \begin {array}{cc} 0&1\\
1/2&1/2\end {array} \right] [/mm]
[mm]T^{-1}A=\left[ \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
-1/3&1/3\end {array} \right] \left[ \begin {array}{cc} 0&1\\
1/2&1/2\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
1/6&-1/6
\end {array} \right] [/mm]
EDIT: Ah meine bunte Zeile habe ich falsch abgeschrieben vom oberen Text.
EDIT2: Ne doch nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Coup |
Ich komme bei deinem T^-1 * A * T nicht auf deine Matrix.
Unzwar bekomme ich für
T^-1*AT= [mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/6 & -1/6 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1/2 & 1/2 }
[/mm]
auf [mm] \pmat{ 2/3 & -1/3 \\ 1/12 & -5/12 } [/mm] ??
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Hallo Coup,
> Ich komme bei deinem T^-1 * A * T nicht auf deine Matrix.
> Unzwar bekomme ich für
> T^-1*AT= [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/6 & -1/6 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 1/2 & 1/2 }[/mm]
>
> auf [mm]\pmat{ 2/3 & -1/3 \\ 1/12 & -5/12 }[/mm] ??
Die Matrix T lautet doch: [mm]\[\begin{pmatrix}1 & -2\cr 1 & 1\end{pmatrix}\][/mm]
Damit ist
[mm]\left(T^{-1}A\right) T=\pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/6 & -1/6 } * \pmat{ 1 & -2 \\ \blue{1} & \blue{1} }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Coup |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich ziehe einfach den Exponenten in die Diagonalmatrix und multipliziere ganz normal aus ?
$ A^n=(TDT^{-1})^n=\red{T}\blue{D^n}\green{T^{-1}}=\red{ \left( \begin {array}{cc} 1&-2\\ 1&1\end {array} \right)}\blue{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1/2 }^n } \green{\left( \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\ -1/3&1/3\end {array} \right)} $
Vielen Dank !
Micha
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> Also ich ziehe einfach den Exponenten in die Diagonalmatrix
> und multipliziere ganz normal aus ?
Hallo,
"hereinziehen" gefällt mir nicht.
Überlege, was Du tust, wenn Du etwa [mm] A^5 [/mm] berechnest:
[mm] A^5=(TDT^{-1})^5=TDT^{-1}*TDT^{-1}*TDT^{-1}*TDT^{-1}*TDT^{-1}= [/mm] ???
Damit sollte dann klar sein, warum [mm] (TDT^{-1})^n=\red{T}\blue{D^n}\green{T^{-1}}.
[/mm]
LG Angela
> [mm]A^n=(TDT^{-1})^n=\red{T}\blue{D^n}\green{T^{-1}}=\red{ \left( \begin {array}{cc} 1&-2\\
1&1\end {array} \right)}\blue{\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1/2 }^n } \green{\left( \begin {array}{cc} 1/3&2/3\\
-1/3&1/3\end {array} \right)}[/mm]
>
> Vielen Dank !
> Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Coup |
Möchte ich $ [mm] A^5=(TDT^{-1})^5=TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^-1= [/mm] ?? $ berechnen würde ich ganz einfach zuerst [mm] A^1 [/mm] berechnen = [mm] (TDT^-^1)^1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 3/4 }.
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] A^2 [/mm] rechne würde ich einfach diese Matrix mit ihr selbst multiplizieren..usw.. Ich verstehe nun nicht warum der Exponent auf das D gezogen wird..
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Hallo Coup,
> Möchte ich
> [mm]A^5=(TDT^{-1})^5=TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^{-1}\cdot{}TDT^-1= ??[/mm]
> berechnen würde ich ganz einfach zuerst [mm]A^1[/mm] berechnen =
> [mm](TDT^-^1)^1[/mm] = [mm]\pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 3/4 }.[/mm]
> Wenn ich
> jetzt [mm]A^2[/mm] rechne würde ich einfach diese Matrix mit ihr
> selbst multiplizieren..usw.. Ich verstehe nun nicht warum
> der Exponent auf das D gezogen wird..
Da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist,
darf man das auch anders klammern:
[mm]A^{2}=\left(T D T^{-1}\right)\left(T D T^{-1}\right)=TD\left(T^{-1}T\right)D T^{-1}=TD E D T^{-1}=T\left(D D\right) T^{-1}=T D^{2} T^{-1}[/mm]
mit E der Einheitsmatrix.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mo 16.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Okay. "Rein ziehen" ist etwas mit vorsicht zu genießen. Bei den Diagonalmatrizen darfst du dies jedoch tun:
[mm] $D=diag(d_1,\ldots,d_n)$ [/mm] => [mm] $D^m=diag(d_1^m,\ldots,d_n^m)$
[/mm]
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