Eigenwertproblem mit lambda < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo an alle, ich hab ein problem bei den eigenwertproblemen,
wenn ich zum beispiel ein aufgabe hab wie [mm] y''+\lambda [/mm] *y = 0
ok.
hab durch langem googlen erfahren dass ich bei dieser ein fallunterscheidung machen muss wegen dem lambda... kann mir jemand eine seite empfehlen oder das hier rein posten was denn das für fallunterscheidungen sind...???
die lösung lautet für das bsp von oben :
y= [mm] C1*Cos(x*\wurzel{\lambda}) [/mm] + C2 * [mm] Sin(x*\wurzel{\lambda})
[/mm]
aber warum und weshalb ??? hoffe mir kann jemand weiterhelfen...
schöne feiertage :)
danke im vorraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> hallo an alle, ich hab ein problem bei den
> eigenwertproblemen,
> wenn ich zum beispiel ein aufgabe hab wie [mm]y''+\lambda[/mm] *y =
> 0
> ok.
>
> hab durch langem googlen erfahren dass ich bei dieser ein
> fallunterscheidung machen muss wegen dem lambda... kann mir
> jemand eine seite empfehlen oder das hier rein posten was
> denn das für fallunterscheidungen sind...???
>
> die lösung lautet für das bsp von oben :
> y= [mm]C1*Cos(x*\wurzel{\lambda})[/mm] + C2 *
> [mm]Sin(x*\wurzel{\lambda})[/mm]
>
> aber warum und weshalb ??? hoffe mir kann jemand
> weiterhelfen...
>
> schöne feiertage :)
> danke im vorraus
Hallo,
die zweite Ableitung von sin(x) ist doch -sin(x) . Für [mm] \lambda=+1 [/mm] ist damit die Summe sin(x)+(sin(x))'' sofort Null.
Für y=sin(ax) gilt [mm] y''=-a^{2}*sin(x). [/mm] Hier müsste man [mm] \lambda=a^2 [/mm] wählen, um auf [mm] y''+\lambda*y=0 [/mm] zu kommen.
Mit negativen Werten für [mm] \lambda [/mm] würde man die Summe (jedenfalls für den Ansatz einer Sinusfunktion) nie auf Null bekommen.
(Analoges gilt beim Ansatz einer Kosinusfunktion).
Wenn (bei negativem [mm] \lambda) [/mm] sich die Summe, sondern die Differenz aus zweiter Ableitung und Funktion Null werden soll, geht dass mit einer e-Funktion, weil da Funktion und zweite Ableitung (abgesehen von eventuell vorhandenen Koeffizienten, die sich aber mit der Wahl des konkreten [mm] \lambda [/mm] korrigieren lassen) übereinstimmem
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
| |
|
dankesehr für die beschreibung aber das klappt ja auch nicht nicht immer z.b. bei komplexeren Fkt....
wäre super wenn jemand etwas ausführlicheres zu denn fallunterscheidungen hätte...
danke nochmals
|
|
|
| |
|
Hi,
also füe die gewünschte Fallunterscheidung sollst du mit dem Exponentialansatz arbeiten, und zwar:
Dgl: y'' + [mm] \lambda [/mm] y = 0.
Ansatz: y(t) = A exp(i [mm] \omega [/mm] t)
y zwei mal ableiten und einsetzen in die Dgl liefert:
[mm] (-\omega^2 [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] y(t) = 0 (*)
(*) ist erfüllt, wenn y = 0 oder [mm] (-\omega^2 [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] = 0.
Für uns interessant: [mm] (-\omega^2 [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \omega^2.
[/mm]
Und nun ist klar, warum wir eine Fallunterscheidung machen sollen:
Fall I: [mm] \lambda [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y(t) = 0 (trivial)
Fall [mm] II:\lambda [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \omega^2 [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \omega [/mm] = [mm] \pm \sqrt\lambda
[/mm]
Fall [mm] III:\lambda [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow \omega^2 [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow \omega [/mm] = [mm] -i\sqrt-\lambda
[/mm]
Wir wollen aber meistens (nicht triviale) reelle Lösungen haben, also ist der Fall II von Interesse, deswegen schreiben wir
y(t) = A [mm] exp(i\sqrt\lambda [/mm] t) = A [mm] (cos(\sqrt\lambda [/mm] t) + i [mm] sin(\sqrt\lambda [/mm] t)), und da [mm] sin(\sqrt\lambda [/mm] t) und [mm] cos(\sqrt\lambda [/mm] t) linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des Lösungsraums von unserer Dgl, und dann ist jede Lösung der Dgl von oben eine Linearkombination von [mm] sin(\sqrt\lambda [/mm] t) und [mm] cos(\sqrt\lambda [/mm] t) .
Gruss,
logarithmus
|
|
|
|
