Eigenwerte von f(A), f Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 28.05.2009 | | Autor: | moonylo |
| Aufgabe | | Sei f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} [/mm] * [mm] x^{k} [/mm] ein Polynom. Sei A [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] diagonalisierbar. Hat A die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{n}, [/mm] dann hat f(A) die Eigenwerte [mm] f(\lambda_{1}), [/mm] ..., [mm] f(\lambda_{n}). [/mm] |
Der Beweis ist recht simpel:
A diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n} [/mm] zu den Eigenwerten [mm] \lambda_{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{n}.
[/mm]
Betrachte den Eigenvektor [mm] v_{i} [/mm] mit dem zugehörigen Eigenwert [mm] \lambda_{i} [/mm] für ein i [mm] \in [/mm] {1, ..., n} , dann gilt:
f(A) * [mm] v_{i} [/mm]
= ( [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} [/mm] * [mm] A^{k} [/mm] ) * [mm] v_{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} [/mm] * [mm] A^{k} [/mm] * [mm] v_{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} [/mm] * [mm] \lambda_{i}^{k} [/mm] * [mm] v_{i}
[/mm]
= ( [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} [/mm] * [mm] \lambda_{i}^{k} [/mm] ) * [mm] v_{i}
[/mm]
= [mm] f(\lambda_{i} [/mm] * [mm] v_{i}
[/mm]
Damit ist f( [mm] \lambda_{i} [/mm] ) Eigenwert von f(A) für alle i = 1, ..., n womit die Behauptung folgt.
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Nun kommt die Frage auf, warum man überhaupt die Voraussetzung der Diagonalisierbarkeit braucht. Angenommen A wäre nicht diagonalisierbar, dann gibt es auch keine Basis aus Eigenvektoren. Allerdings muss es, wenn [mm] \lambda_{i} [/mm] ein Eigenwert von A ist, auch einen Eigenvektor [mm] v_{i} [/mm] geben, sodass A * [mm] v_{i} [/mm] = [mm] \lambda_{i} [/mm] * [mm] v_{i}. [/mm] Dadurch ist ein Eigenwert ja definiert. Sprich:
Ich hab vielleicht keine n Eigenvektoren, allerdings reichen diese Eigenvektoren aus, da ich so alle Eigenwerte bestimmen kann. Und wenn ich das richtig "sehe" ist die Vielfachheit des Eigenwerts [mm] \lambda_{i} [/mm] auch die Vielfachheit des Eigenwerts f( [mm] \lambda_{i} [/mm] ).
Sind meine Überlegungen da richtig oder findet jemand vielleicht sogar ein Gegenbeispiel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Vor. "diagonalisierbar " ist völlig überflüssig !
Denn aus
$Av = [mm] \lambda [/mm] v$
folgt
$c_kA^kv = [mm] c_k \lambda^k [/mm] v$ für jedes k
und damit
$f(A)v = [mm] f(\lambda)v$
[/mm]
FRED
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