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Eigenwerte von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 So 07.12.2014
Autor: just

Aufgabe
Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichung 2x − tan x = 0 im Intervall I = [1, 1.5].
Überprüfe, welche der beiden Funktionen
phi1(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] tan(x)
phi2(x) = arctan(2x)
die Vorraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes erfüllt.

Hallo,
ich beiße mir an einer meiner Hausaufgaben die Zähne aus.

Ich habe mich im Forum für lineare Algebra bereits in eine Diskussion eingeklinkt, jedoch gemerkt, dass ich da wohl falsch war..
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://matheraum.de/read?i=1044598

In meinem Skript steht nun, dass der Banach'sche Fixpunktsatz genau dann konvergiert, wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix < 1 ist.

Nun weiß ich aber nicht, wie man die Iterationsmatrix aus einer solchen Funktion berechnen kann. Wie man daraus hinterher die Eigenwerte bestimmt, weiß ich ja.

Denke ich da soweit richtig oder bin ich schon auf dem Holzweg? Vielleicht kann mir ja jemand helfen oder zumindest den richtigen Schubs, Link oder Schlagwort geben..

danke und lg
just
        
Bezug
Eigenwerte von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 Mo 08.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo just und [willkommenmr]!


Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichung

      [mm] 2x-\tan(x)=0 [/mm]

im Intervall [mm] $I:=[1,\frac{3}{2}]\$. [/mm]

Zunächst: Ist die klar, weshalb es hier nahe liegt

      [mm] \phi_1(x)=\frac{1}{2}\tan(x) [/mm] bzw. [mm] \phi_2(x)=\arctan(2x) [/mm]

zu betrachten?

In der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass du die Voraus-
setzungen des Banachscher Fixpunktsatzes überprüfen sollst. Ist
die klar, was daraus folgt? Ich empfehle dir dringend mindestens
den Wikipedia-Artikel []hier durchzulesen und sehr genau die Vor-
raussetzungen des Banachscher Fixpunktsatzes durchzugehen.


Gruß
DieAcht
Bezug
                
Bezug
Eigenwerte von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 So 14.12.2014
Autor: just

Danke, damit hast du mir den richtigen Schubs gegeben.

Ja, wie ich auf die Gleichungen komme, hab ich gewusst. Letzendlich ist es ja nicht mehr als umformen nach x.

Nun ist mir irgendwie die Lipschitz-Konstante durch die Lappen gegangen, die der Schlüssel war. Dabei wurde die doch in unserem Skript behandelt;).


Danke und liebe Grüße
just
Bezug
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