Eigenwerte von A-B < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 11.03.2009 | | Autor: | BineC |
Hallo,
ich zerbreche mir gerade über folgendes Problem den Kopf:
Gegeben sind zwei Matrizen A und B, für die gilt, dass der kleinste Eigenwert von A größer als der größte Eigenwert von B ist. Kann man dann über das Spektrum von A-B eine Aussage treffen? In diesem Fall also folgern, dass A-B nur positive Eigenwerte hat?
Bis jetzt habe ich nur symmetrische positiv definite Matrizen betrachtet und das aber noch nicht nachweisen können.
Die erste Idee wäre, eine Simultantransformation zu benutzen wie z.B. beim QZ-Algorithmus, aber ich stecke leider nicht tief genug in der Theorie, um zu wissen, welche Trafos man benutzen muss, um auch mindestens auf Dreiecksgestalt zu kommen.
Andere Ideen sind mir leider noch nicht gekommen.
Vielen Dank schon im Voraus.
BineC
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Für symmetrisch Matrizen A, B ist es richtig !
Wir benötigen das Folgende:
Ist A eine symmetrische Matrix, so sei W(A) = { <Ax,x> : ||x||=1 } (der numerische Wertebereich von A), wobei <.,.> das Skalarprodukt bezeichne.
Weiter sei m(A) = min W(A) und M(A) = max W(A)
Dann gilt (ich hoffe, Du kennst das):
m(A) [mm] \le \lambda \le [/mm] M(A) für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A
und m(A) und M(A) sind Eigenwerte von A
Jetzt sei B eine weitere symmetrische Matrix.
Beh.: ist M(B) < m(A), so ist jeder Eigenwert [mm] \alpha [/mm] von A-B positiv
Beweis: Sei [mm] \alpha [/mm] ein Eigenwert von A-B. Dann existiert ein x mit ||x||=1 und (A-B)x= [mm] \alpha [/mm] x.
Dann:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] <x,x> = < [mm] \alpha [/mm] x,x> = <(A-B)x,x> = <Ax,x> - <Bx,x> [mm] \ge [/mm] m(A) - M(B) > 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mi 25.03.2009 | | Autor: | BineC |
Vielen Dank für den ausführlichen Lösungsweg.
Ich glaube, ich habe wieder mal zu kompliziert gedacht. Aber mit der richtigen Idee ist es einfach zu zeigen 
Also nochmals vielen Dank
Bine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Gern geschehen
FRED
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