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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Fr 20.02.2009 | | Autor: | opz |
Hallo, ich habe die JNF der Matrix gebildet:
[mm] \pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -5 }
[/mm]
Entsprechend die drei Eigenwerte abgelesen, und jeweils folgende Beziehung überprüft: [mm] (A-\lambda_i \* [/mm] E) [mm] \* \vec{v_i} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Meine Frage: habe ich damit bewiesen, dass [mm] \vec{v_{1-3}} [/mm] Eigenvektoren von A sind, oder reicht das nicht aus? Bzw. gäbe es einen geschickteren Weg?
Vielen Dank im Vorraus:)
edit: Sorry, habs leider zu spät gemerkt, dass der img-Tag nur mit hochgeladenen Dateien funktioniert:( finde nun auch keine Möglichkeit mehr, etwas hochzuladen :( Habe es zumindest verlinkt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> ![[]](/images/popup.gif) www.verfailed.de/tmp/aufgabe.gif
> Hallo, ich habe die JNF der Matrix gebildet:
> [mm]\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -5 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie hast Du die JNF gefunden?
>
> Entsprechend die drei Eigenwerte abgelesen, und jeweils
> folgende Beziehung überprüft: [mm](A-\lambda_i \*[/mm] E) [mm]\* \vec{v_i}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Meine Frage: habe ich damit bewiesen, dass [mm]\vec{v_{1-3}}[/mm]
> Eigenvektoren von A sind, oder reicht das nicht aus?
Doch, das ist damit gezeigt.
> Bzw.
> gäbe es einen geschickteren Weg?
Natürlicher fände ich dies:
multipliziere jeden der gegebenen Vektoren mit A und überzeuge Dich davon, das jeweils ein Vielfaches des Vektors herauskommt.
Damit weißt Du, daß es Eigenvektoren sind.
Der Faktor, mit welchem der Vektor multipliziert wird, ist der jeweilige Eigenwert.
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank im Vorraus:)
>
> edit: Sorry, habs leider zu spät gemerkt, dass der img-Tag
> nur mit hochgeladenen Dateien funktioniert:( finde nun auch
> keine Möglichkeit mehr, etwas hochzuladen :( Habe es
> zumindest verlinkt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Fr 20.02.2009 | | Autor: | opz |
Danke für die schnelle Antwort:)
> Wie hast Du die JNF gefunden?
P = [mm] (\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) [/mm] gebildet, und dann [mm] P^{-1}AP
[/mm]
Dein Vorschlag zur Überprüfung war auch hilfreich, Danke :)
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> Danke für die schnelle Antwort:)
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> > Wie hast Du die JNF gefunden?
>
> P = [mm](\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3})[/mm] gebildet, und dann
> [mm]P^{-1}AP[/mm]
Hallo,
klar kann man das so machen.
Aber es ist ungemütlich, weil man ja noch eine inverse Matrix berechnen muß und drei Matrizen Multiplizieren.
Gruß v. Angela
>
> Dein Vorschlag zur Überprüfung war auch hilfreich, Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 20.02.2009 | | Autor: | opz |
Nun, ich kenne sonst (außer der noch aufwändigeren Eigenwertbestimmung per Determinante) keine Möglichkeiten.
Aber bei der Überprüfung deines Vorschlags fiel mir auf, dass jedes Mal [mm] A\*\vec{v_i} [/mm] = [mm] \lambda_i\*\vec{v_i} [/mm] zutrifft.
Das ginge dann wohl so in Ordnung, oder? :)
Danke, Stefan
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> Nun, ich kenne sonst (außer der noch aufwändigeren
> Eigenwertbestimmung per Determinante) keine Möglichkeiten.
> Aber bei der Überprüfung deines Vorschlags fiel mir auf,
> dass jedes Mal [mm]A\*\vec{v_i}[/mm] = [mm]\lambda_i\*\vec{v_i}[/mm]
> zutrifft.
>
> Das ginge dann wohl so in Ordnung, oder? :)
Hallo,
ja, das sagt doch gerade, daß [mm] v_i [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_i [/mm] ist, so sind die Begriffe ja definiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Fr 20.02.2009 | | Autor: | opz |
Super, jetz ist das Ganze etwas klarer :)
Schönen Abend noch,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Fr 20.02.2009 | | Autor: | prfk |
Moin
Nur ein kleiner Nachtrag:
Wenn eine Matrix [mm] J=Q^{-1}\cdot A\cdot [/mm] Q eine Jordannormalform hat, dann müssen die Spaltenvektorn von Q Eigenvextoren der Matrix A sein.
In deiner Aufgabe, ist dies offensichtlich der Fall. Ich kommen auf die gleiche Matrix.
Gruß
prfk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Fr 20.02.2009 | | Autor: | opz |
Hallo, die JNF war ja nicht gegeben, sondern ich habe diese ja selbst mit [mm] Q^{-1}AQ [/mm] ermittelt.
mfg, Stefan :)
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![[]](http://www.verfailed.de/tmp/aufgabe.gif){kind=small}
www.verfailed.de/tmp/aufgabe.gif