Eigenwerte über Q und C < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 13.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Sei [mm] \phi: K^3 [/mm] -> [mm] K^3 [/mm] die lineare Abbildung gegeben durch [mm] \phi(e_{1})=-e_{2}+e_{3}, \phi(e_{2})=-e_{2}=-e_{1}-e_{2} [/mm] und [mm] \phi(e_{3})=-e_{3}. ((e_{1},e_{2}e_{3}) [/mm] die Standartbasis des [mm] K^3)
[/mm]
(a) Bestimmen Sie für K = [mm] \IQ [/mm] alle Eigenwerte von [mm] \phi [/mm] mit den zugehörigen Eigenräumen.
(b) Bestimmen Sie für K = [mm] \IC [/mm] alle Eigenwerte von [mm] \phi.
[/mm]
(c) In welchen der beiden Fällen (K = [mm] \IC [/mm] bzw. K = [mm] \IQ) [/mm] ist [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar? |
zu (a) bzw. (b). Ich habe mal so angefangen, dass ich die Abbildung auf die Standartbasisvektoren anwende, also:
[mm] \phi(e_{1})= \vektor{0 \\ -1\\1}
[/mm]
[mm] \phi(e_{2})=\vektor{-1 \\ -1\\0}
[/mm]
[mm] \phi(e_{3})= \vektor{0 \\ 0\\-1}
[/mm]
Daraus ergibt sich die Matrix: definiert als A:
[mm] A:=\pmat{ 0 & -1&0 \\ -1 & -1&0 \\1&0&-1}
[/mm]
Nun habe ich das charakteristische Polynom berechnet:
[mm] P_{A}=-\lambda^{3}-2\lambda^{2}+1
[/mm]
Nun komme ich auf die Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1}=-1
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{5})
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=\bruch{1}{2}(\wurzel{5}-1)
[/mm]
Die Eigenwerte bei K = [mm] \IQ, [/mm] wäre ja nur [mm] \lambda_{1}=-1
[/mm]
Die Frage ist, sind die Eigenwerte [mm] \lambda{1},\lambda{2},\lambda{3} [/mm] Eigenwerte bei K = [mm] \IC [/mm] ? Da sie ja nur einen Realteil besitzen und kein Imaginärteil. Oder habe ich die Aufgabe völlig falsch aufgegriffen?
Viele Grüße
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Hallo locke123,
> Sei K ein Körper. Sei [mm]\phi: K^3[/mm] -> [mm]K^3[/mm] die lineare
> Abbildung gegeben durch [mm]\phi(e_{1})=-e_{2}+e_{3}, \phi(e_{2})=-e_{2}=-e_{1}-e_{2}[/mm]
> und [mm]\phi(e_{3})=-e_{3}. ((e_{1},e_{2}e_{3})[/mm] die
> Standartbasis des [mm]K^3)[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie für K = [mm]\IQ[/mm] alle Eigenwerte von [mm]\phi[/mm] mit
> den zugehörigen Eigenräumen.
> (b) Bestimmen Sie für K = [mm]\IC[/mm] alle Eigenwerte von [mm]\phi.[/mm]
> (c) In welchen der beiden Fällen (K = [mm]\IC[/mm] bzw. K = [mm]\IQ)[/mm]
> ist [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar?
> zu (a) bzw. (b). Ich habe mal so angefangen, dass ich die
> Abbildung auf die Standartbasisvektoren anwende, also:
>
> [mm]\phi(e_{1})= \vektor{0 \\
-1\\
1}[/mm]
> [mm]\phi(e_{2})=\vektor{-1 \\
-1\\
0}[/mm]
>
> [mm]\phi(e_{3})= \vektor{0 \\
0\\
-1}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich die Matrix: definiert als A:
>
> [mm]A:=\pmat{ 0 & -1&0 \\
-1 & -1&0 \\
1&0&-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich das charakteristische Polynom berechnet:
> [mm]P_{A}=-\lambda^{3}-2\lambda^{2}+1[/mm]
> Nun komme ich auf die Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1}=-1[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{5})[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=\bruch{1}{2}(\wurzel{5}-1)[/mm]
>
> Die Eigenwerte bei K = [mm]\IQ,[/mm] wäre ja nur [mm]\lambda_{1}=-1[/mm]
Jo!
> Die Frage ist, sind die Eigenwerte
> [mm]\lambda{1},\lambda{2},\lambda{3}[/mm] Eigenwerte bei K = [mm]\IC[/mm] ?
> Da sie ja nur einen Realteil besitzen und kein
> Imaginärteil.
Na, der Imaginärteil ist halt 0 
> Oder habe ich die Aufgabe völlig falsch
> aufgegriffen?
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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