Eigenwerte berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] mit Eigenwerten [mm] \lambda_i, [/mm] i=1,...n und zugehörigen Eigenvektoren [mm] v_i. [/mm] Sei k [mm] \in [/mm] {1,...,n} fest gewählt, so dass die Vielfachheit von [mm] \lambda_k [/mm] eins ist und wir betrachten einen Vektor x [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] x^t v_k=1. [/mm] Wir definieren die Matrix [mm] B=A-\lambda_k v_k x^t
[/mm]
a)Zeige, dass B die Eigenwerte [mm] \lambda_1,...,\lambda_{k-1},0,\lambda_{k+1},...\lambda_n [/mm] und die Eigenvektoren [mm] w_1,...,w_{k-1},v_k,w_{k+1},...w_n [/mm] besitzt.
b)Finde die Eigenvektoren [mm] w_i [/mm] bezüglich [mm] v_i. [/mm] |
Wegen [mm] det(B)=det(A-\lambda_k v_k x^t)=det(A-A v_k x^t)=det(A(I-v_k x^t)) =det(A)*det(I-v_k x^t)=0
[/mm]
sieht man, dass B die Eigenwerte [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] hat. Aber mir ist nicht klar, warum der k-te EW Null ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:50 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] mit Eigenwerten [mm]\lambda_i,[/mm]
> i=1,...n und zugehörigen Eigenvektoren [mm]v_i.[/mm] Sei k [mm]\in[/mm]
> {1,...,n} fest gewählt, so dass die Vielfachheit von
> [mm]\lambda_k[/mm] eins ist und wir betrachten einen Vektor x [mm]\in \IR^n[/mm]
> mit [mm]x^t v_k=1.[/mm] Wir definieren die Matrix [mm]B=A-\lambda_k v_k x^t[/mm]
>
> a)Zeige, dass B die Eigenwerte
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_{k-1},0,\lambda_{k+1},...\lambda_n[/mm]
> und die Eigenvektoren [mm]w_1,...,w_{k-1},v_k,w_{k+1},...w_n[/mm]
> besitzt.
>
> b)Finde die Eigenvektoren [mm]w_i[/mm] bezüglich [mm]v_i.[/mm]
> Wegen [mm]det(B)=det(A-\lambda_k v_k x^t)=det(A-A v_k x^t)=det(A(I-v_k x^t)) =det(A)*det(I-v_k x^t)=0[/mm]
Warum ist das =0 ??????
>
> sieht man, dass B die Eigenwerte [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm]
> hat.
Ich sehe das daraus nicht !
> Aber mir ist nicht klar, warum der k-te EW Null ist?
Nachrechnen: [mm] Bv_k=0.
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
> > b)Finde die Eigenvektoren [mm]w_i[/mm] bezüglich [mm]v_i.[/mm]
> > Wegen [mm]det(B)=det(A-\lambda_k v_k x^t)=det(A-A v_k x^t)=det(A(I-v_k x^t)) =det(A)*det(I-v_k x^t)=0[/mm]
>
> Warum ist das =0 ??????
>
> > sieht man, dass B die Eigenwerte [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm]
> > hat.
>
> Ich sehe das daraus nicht !
Ja, das war Unsinn. Es hätten natürlich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnet werden sollen.
Also [mm] det(B-\lambda I)=det(A-\lambda_k v_k x^t-\lambda I)=det(A-Av_k x^t-\lambda [/mm] I)=...
Mh, wenn man wüsste, dass A invertierbar wäre, könnte man
[mm] det(A(I-v_k x^t-A^{-1}\lambda [/mm] I))=det(A)*det(I- [mm] v_k x^t-A^{-1}\lambda [/mm] I) schreiben. So weiß ich allerdings nicht weiter. Kannst du mir da noch einen Tip geben?
> Nachrechnen: [mm]Bv_k=0.[/mm]
Danke.
[mm] Bv_k=(A-\lambda_k v_k x^t)v_k=Av_k-\lambda_k v_k x^t v_k=Av_k-\lambda_k v_k=Av_k-Av_k=0
[/mm]
[mm] Bv_k=0=0v_k [/mm] also ist 0 Eigenwert von B mit Eigenvektor [mm] v_k
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 24.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
