Eigenwerte Bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A, sowie deren algebraische und geometrische Vielfachheit.
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $[/mm]
A= 0 1 0
0 0 1
1 -3 3 |
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $[/mm]
Servus,
eine neue Frage am Morgen: Ich soll die Eigenwerte bestimmen dazu habe ich auf der hauptdiagonalen die Lambdas eindesetzt und mit der Sarrus-Regel bekomme ich das charakteristische Polynom:
y=Lambda
[mm] -y^3-3y+1 [/mm] also sind die Eigenwerte bei x1=1 x2/3=1.1
Habe es mit der PQ-Formel ausgerechnet bin mir da aber nicht sicher bei X2,3.
Die geometrische Vielfachheit ist 2 weil ich zwei verschiedene Eigenwerte habe kann man das so sagen?
Ich vertehe aber nicht was algebraische vielfachheit bedeutet?
Könnt ihr mir die Sachen auf einer einfachen Weise erklären habe viel gelsen werde aber nicht schlau. Und die Eigenwerte sind die Richtig?
Danke schon mal
Euer Matrix
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A, sowie deren
> algebraische und geometrische Vielfachheit.
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $[/mm]
>
> A= 0 1 0
> 0 0 1
> 1 -3 3
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $[/mm]
>
> Servus,
>
> eine neue Frage am Morgen: Ich soll die Eigenwerte
> bestimmen dazu habe ich auf der hauptdiagonalen die Lambdas
> eindesetzt und mit der Sarrus-Regel bekomme ich das
> charakteristische Polynom:
> y=Lambda
>
> [mm]-y^3-3y+1[/mm] also sind die Eigenwerte bei x1=1 x2/3=1.1
> Habe es mit der PQ-Formel ausgerechnet bin mir da aber
> nicht sicher bei X2,3.
Hallo,
die pq-Formel bringt hier wenig Segen, denn sie ist für quadratische Gleichungen...
Das Problem beginnt aber schon zuvor: Dein charakteristisches Polynom stimmt nicht.
Vielleicht schreibst Du mal genau auf, was Du gerechnet hast, also die Matrix, deren Det. Du bestimmst und die zugehörige Rechnung.
> Die geometrische Vielfachheit ist 2 weil ich zwei
> verschiedene Eigenwerte habe kann man das so sagen?
Nein.
Ich mache ein Beispiel:
mal angenommen, Du hast eine Matrix A mit dem charakteristischen Polynom [mm] \Chi_A(x)=(x-3)^4(x-5)^6.
[/mm]
Es ist 4 die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 3 und 6 die alg. Vielfachheit des Eigenwertes 5.
Geometrische Vielfachheit ist was anderes, nämlich die Dimension des Eigenraumes zu einem Eigenwert.
Will ich in meinem Beispiel die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 3 bestimmen, so muß ich die Dimension des Kerns von A-3E berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
hi Angela,
also die Matrix lautet ja:
( 0 1 0 )
( 0 0 1 )
( 1 -3 3 ) Dann habe ich versucht die Eigenwerte mittels charakteristische Polynom zu bestimmen.
(-y)*(-y)*(3-y)= [mm] -y^3+3y^2 [/mm] aber wenn ich nach der Regel von saruus gehe
kommt das: [mm] -y^3+3y^2+3y+1 [/mm] stimmt denn der Ansatz also das von Sarrus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
also zuerst einmal wäre es denke ich ganz hilfreich wenn du mal den schönen Formeleditor benutzen würdest um deine Fragen hier in diesem Forum zu stellen. Des Weiteren wäre eine kurze Übersicht von deinen Rechenschritten ganz hilfreich, damit man deine Fehler direkt sehen kann und nicht gezwungen ist alle Schritte selbst nachzurechen.
Hier also mal der Ansatz:
Sei also A:= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 } [/mm] (Wenn du nun einmal auf die Matrix klickst, siehst du den Quelltext, der für die Matrix nötig ist)
gesucht: char. Polynom
Es gilt: [mm] P(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] E)
einsetzen:
[mm] P(\lambda)= det(\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda })
[/mm]
= [mm] det(\pmat{ 0-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & -3 & 3-\lambda })
[/mm]
=...
Jetzt bitte die ... ausrechnen, für die Berechnung gibt es neben der Regel von Sarrus noch viele Möglichkeiten, also such dir die aus die du am besten kannst und schreib bitte deine Rechenschritte auf.
Gruß Fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Ich soll doch nur die Diagonalen zusammen fassen was für rechenschritte?
Da kommt bei mir [mm] -y^3+3y^2-3y+1
[/mm]
Es kommt ein eigenwert von 1 raus, denn ich durch raten rausbekommen habe. Kommt nur der eine Wer heraus oder noch mehrere?
Und die algebraische vielfachheit müsste dann heir eins sein, was die geometrische bedeutet werde icch nicht schlau.
Ich kenne nur die Sarrus-Regel andere die vieleicht einfacher sind kenn ich nicht.
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> Ich soll doch nur die Diagonalen zusammen fassen was für
> rechenschritte?
Hallo,
na, die Rechenschritte halt - beginnend mit dem Austellen von [mm] A-\lambda [/mm] E bis zur ausgerechneten Determinante inkl Aufschreiben der auszuführenden Produkte.
>
> Da kommt bei mir [mm]-y^3+3y^2-3y+1[/mm]
Ja, das ist das charakteristische Polynom Deiner Matrix.
>
> Es kommt ein eigenwert von 1 raus, denn ich durch raten
> rausbekommen habe. Kommt nur der eine Wer heraus oder noch
> mehrere?
Das herauszufinden ist Dein Job.
Spalte den Linearfaktor (x-1) ab und schau, ob das verbleibende Polynom weitere reelle Nullstellen hat.
Schreibe am Ende das Polynom als Produkt von Linearfaktoren.
Wenn Du das hast, kannst Du über die alg. Vielfachheit des Eigenwertes 1 und eventueller anderer Eigenwerte nachdenke.
Ich hab's Dir ja schon erklärt vorhin.
> Und die algebraische vielfachheit müsste dann heir eins
> sein, was die geometrische bedeutet werde icch nicht
> schlau.
Bring erstmal Dein Polynom in Linearfaktordarstellung.
Später machen wir Dich in Sachen geometrische Vielfachheit schlau.
> Ich kenne nur die Sarrus-Regel andere die vieleicht
> einfacher sind kenn ich nicht.
Die Sarrusregel ist zum Ausrechnen der Determinanten von 3x3-Matrizen.
Du mußt unbedingt auch Laplace-Entwicklung nacharbeiten und können.
Sarrus ist zu wenig.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:56 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey ich verstehe das nicht habe hier das Papula neben mir die Aufgaben sind klar und diese ist eine Klausuraufgabe und verzweifelt.
[mm] -y^3+3y^2-3y+1 [/mm]
Durch 2 dividieren:
y*( [mm] -y^2-1.5y [/mm] )
Nach der PQ Formel bekomme ich nullstellen; bei 1,3 und -3,8.
Hey kannst du mir bischen mehr unter die arme greifen wäre echt lieb.
Ich kriege einfach nicht die eigenwerte für diese Aufgabe heraus, eigentlich garnichts.
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> Hey ich verstehe das nicht habe hier das Papula neben mir
> die Aufgaben sind klar und diese ist eine Klausuraufgabe
> und verzweifelt.
Hallo,
mit "bitte die Lösung" hab' ich echt ein Problem:
Du hattest doch nun das charakteristische Polynom gefunden, und ich hab' Dir gesagt, was Du weiter tun mußt.
Wenn Du in meiner Antwort irgendwas nicht verstehst, was natürlich (!) vorkommen kann, dann nimm doch bitte genau darauf Bezug - sonst kann man sich das Antwortenja sparen.
>
> [mm]-y^3+3y^2-3y+1[/mm]
> Durch 2 dividieren:
???
Wozu um Himmelswillen dividierst Du durch 2,
>
> y*( [mm]-y^2-1.5y[/mm] )
und wieso ist dies Dein Ergebnis?
>
> Nach der PQ Formel bekomme ich nullstellen; bei 1,3 und
> -3,8.
Wie verwendest Du hier die pq-Formel?
Die Nullstellen von [mm] y(-y^2-1.5y)=-y^2(y+1.5) [/mm] sind
y=0 und y=-1.5.
Die Vielfachheit der ersten Nullstelle ist 2 und die der zweiten 1.
>
> Hey kannst du mir bischen mehr unter die arme greifen wäre
> echt lieb.
s.o.: geh genau auf das ein, was Dir geantwortet wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:33 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey nur noch eine kleine Antwort ich habe die Nullstellen:
x1= 0 x2=1 x3=-1
$ [mm] -y^3+3y^2-3y+1 [/mm] $
ich muss doch durch 3 teilen:
Das war doch jetz nur ein Beispiel oder wie biste auf die 1,5 gekommen.
$ [mm] y(-y^2-1.5y)=-y^2(y+1.5) [/mm] $
Hey wenn die eigenwerte stimmen dann ist gut.
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Hallo,
wenn Du eine Antwort haben möchtest, dann stell Deine Rückfragen als Fragen (roter Kasten).
Es ist dann weniger dem Zufall überlassen, ob sie gesehen werden.
> Hey nur noch eine kleine Antwort ich habe die Nullstellen:
>
> x1= 0 x2=1 x3=-1
>
> [mm]-y^3+3y^2-3y+1[/mm]
Irgendwie scheinen wir ein Kommunikationsproblem zu haben - oder Du hast ein Rechenproblem...
Das Polynom [mm] p(y)=-y^3+3y^2-3y+1 [/mm] hat doch nicht 0 und -1 als Nullstellen. (?)
Was eine Nullstelle ist, weißt Du?
>
> x1= 0 x2=1 x3=-1
> [mm]-y^3+3y^2-3y+1[/mm]
> ich muss doch durch 3 teilen:
Warum? Was meinst Du denn?
Wenn ich [mm] -y^3+3y^2-3y+1 [/mm] durch 3 teile, bbekomme ich [mm] 1/3*(-y^3+3y^2-3y+1).
[/mm]
>
> Das war doch jetz nur ein Beispiel oder wie biste auf die
> 1,5 gekommen.
> [mm]y(-y^2-1.5y)=-y^2(y+1.5)[/mm]
???
Ich habe einfach das Material genommen, was Du mir hingelegt hast, also [mm] q(y)=y(-y^2-1.5y), [/mm] hab' das in Linearfaktoren geschrieben: [mm] y(-y^2-1.5y)=-y^2(y+1.5),
[/mm]
und die Nullstellen abgelesen, damit Du siehst, wie es geht.
>
> Hey wenn die eigenwerte stimmen dann ist gut.
???
Nur mal zu meiner Entwirrung:
Es geht immer noch um die eingangs gepostete Matrix?
Deren charakteristisches Polynom hattest Du ja inzwischen richtig hingeschrieben, und die eine Nullstelle (=Eigenwert der Matrix) bestimmt.
Die anderen Eigenwerte - falls es welche gibt - stehen aus.
Ich hatte doch (mehr oder weniger) gesagt, daß Du das charakteristische Polynom p(x) schreiben sollst als p(x)=(x-1)*(quadratische [mm] \quad [/mm] Polynom).
Bestimme vom quadratischen Polynom dann die anderen beiden Nullstellen - damit hast Du dann alle Eigenwerte.
Mir ist gerade wirklich nicht klar, ob ich Dein Anliegen komplett mißverstehe, oder ob Du womöglich tatsächlich null Plan davon hast, was ein Eigenwert, Eigenvektor ist und wie man diese bestimmt...
Oder weißt Du nicht, wie man von Polynomen Linearfaktoren abspaltet? Oder ist Dir die Zusammenhang zwischen Nullstellen und Linearfaktoren unklar?
Vielleicht hilfst Du mal ein bißchen mit, hier Klarheit zu schaffen über das, was klar und was unklar ist.
Sonst kann man schlecht helfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey,
eigenvektoren und eigenwerte sind mir klar.
Habe wirklich bischen Probleme mit der Linearzerlegung und weiss ehrlich gesagt auch nicht was das hier
Ich hatte doch (mehr oder weniger) gesagt, daß Du das charakteristische Polynom p(x) schreiben sollst als p(x)=(x-1)*(quadratische $ [mm] \quad [/mm] $ Polynom).
bedeutet.
Sorry ich meinte nicht die Nullstellen sondern die Eigenwerten.
Werde gleich mich bischen mit der Faktorzerlegung beschäftigen die kommt ja so oft dran.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Warte mal werde das mal nachrechnen mit der quadratischen polynomdivision.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
wie Angela dir schon mitgeteilt hat, so schreibe bitte eine Frage und keine Mitteilung damit die Forenmitglieder deinen Beitrag auch mitbekommen!!!
Zu deiner FRAGE, so ist dir denke ich nicht bewusst, dass die Nullstellen des charakteristischen Polynoms die Eigenwerte der Matrix sind.
Zur Berechnung dieser musst du wie Angela ebenfalls schon geschrieben hat, eine Polynom finden welches diese Form hat:
P(x)=(x-1)*(quadratische Polynom)
Die Ausgangsform deines Polynoms ist jedoch:
[mm] P(x)=-x^3+3x^2-3x+1 [/mm] (also nicht von der gewünschten Form)
Eine Nullstelle (ein Eigenwert) ist jedoch wie du schon herausgefunden hast die 1 also gilt:
x=1
[mm] \gdw [/mm] x-1=0
bedeutet, wenn x=1 ist, ist x-1=0
bedeutet weiter, wenn (x-1)*(quadratische Polynom)=0 ist, und x=1 ist, so ist x-1=0 und 0*(quadratische Polynom)=0, folgt also x=1 ist eine Nullstelle, mit algebraischer Vielfachheit 1, da sie einfache Nullstelle ist.
Frage:
Wie bekommt man nun [mm] -x^3+3x^2-3x+1 [/mm] in diese Form (x-1)*(quadratische Polynom)
Antwort: Polynomdivison
Löse dafür: [mm] (-x^3+3x^2-3x+1):(x-1)=... [/mm]
Diese ... geben dir eine quadratische Funktion die du dann mit der pq-Formel lösen kannst und die dir dann die fehlenden Eigenwerte sprich Nullstellen des char. Polynoms geben.
Gruß Fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
So die Quadratische polynomdivision habe ich jetz angewendet:
( [mm] -x^3+3x^2-3x+1 [/mm] ):(x-1)= [mm] -x^2+2x-1 [/mm] mal(-1) = [mm] x^2-2x+1
[/mm]
So und in der PQ-Formel bekomme ich dann 1 plus/minus O das heisst jetz das noch ein eigenwert mit eins vorhanden ist?
Die Gleichung müsste doch 3 Eigenwerte haben sind die den alle bei 1 ?
Gruss Matrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 So 21.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast jetzt endlich richtig raus, dass ein Polynom
[mm] p(x)=-(x-1)^3 [/mm] ist.
Jetzt lies die posts durch. Kannst du was über die algebraische Vielfachheit sagen?
Wie findest du die geometrische?
Das steht alles in den anfnglichen posts von Angela!
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Laut Angela müsste die Algebraische Vielfachheit bei 3 liegen.
Die Geometrische habe ich ert einmal nachgerechnet und da kommt bei mir die eins heraus.
Stimmt das denn?
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> Laut Angela müsste die Algebraische Vielfachheit bei 3
> liegen.
> Die Geometrische habe ich ert einmal nachgerechnet und da
> kommt bei mir die eins heraus.
> Stimmt das denn?
Moin,
ja, stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey nur noch eine Frage:
Angenommen ich hätte zwei verschiedene Eigenwerte wie rechne ich dann die Geometrische vielfachheit aus?
Vorhin hatte ich ja den Eigenwert 1 raus, ich habe dann also die Normalmatrix minus die Einheitsmatrix ausgerechnet, dann auf zeilenstufenform gebracht und die Dimension ausgerechnet.
Kann mir gerade nicht vorstellen bei 2 verschieden eigenwerten, kannste mir da ein Beispiel geben?
Gruss
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Hallo Matrix22,
> Hey nur noch eine Frage:
>
> Angenommen ich hätte zwei verschiedene Eigenwerte wie
> rechne ich dann die Geometrische vielfachheit aus?
> Vorhin hatte ich ja den Eigenwert 1 raus, ich habe dann
> also die Normalmatrix minus die Einheitsmatrix
> ausgerechnet, dann auf zeilenstufenform gebracht und die
> Dimension ausgerechnet.
> Kann mir gerade nicht vorstellen bei 2 verschieden
> eigenwerten, kannste mir da ein Beispiel geben?
Das geht genauso.
Angenommen, [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm] sind zwei verschiedene Eigenwerte einer Matrix A.
Dann berechnest Du den Rang der Matix [mm]A-\lambda_{1}*E[/mm],
wobei E die Einheitsmatix ist.
Aus dem Rang der Matrix [mm]A-\lambda_{1}*E[/mm] ergibt sich dann
zwangsläufig die Dimension des Eigenraumes zu diesem Eigenwert.
So wird dann auch mit dem anderen Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm] verfahren.
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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