Eigenwerte - komplexer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mo 24.05.2010 | | Autor: | DavidC |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Matrix
A = ( 0 i 0 )
( -i 0 0)
( 0 0 1) € C 3x3
auf Diagonalisierbarkeit, und geben Sie - falls möglich - eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix S an, für die A= SDS^-1 gilt. |
Hey Leute
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hab folgendes Problem
Um eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit zu untersuchen musst man ja folgende Schritte machen: Eigenwerte berechnen, die Eigenvektoren aufstellen .....
ich scheitere schon direkt am ersten Schritt
Als ich bei den EIgenwerten die Nullstelle für Lambda berechnen wollte kam ich nicht mehr weiter, weil ich nur noch Variablen hatte :
(Lambda = L)
[mm] -L^3+L^2-Li^2+i^2 [/mm] = 0
ich weiß dass man hier jetzt die Polynomdivision anwenden musst, doch wie finde ich hier einen Wert heraus mit dem ich die Gleichung dann teilen kann. Ich hab hier ja nur Variablen. Man musste ja immer ausprobieren , welcher Wert gleich 0 ergibt aber wie geht man bei diesem Beispiel vor ?
Hoffentlich versteht ihr was ich meine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
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> [mm]-L^3+L^2-Li^2+i^2[/mm] = 0
[mm] $i^2=-1$
[/mm]
Danach kann man der Gleichung die Werte förmlich ansehen.
Du könntest es Dir aber auch wesentlich einfacher machen, und
[mm] $A-\lambda I=\pmat{-\lambda & i & 0\\ -i& -\lambda & 0\\ 0 & 0 & 1-\lambda}$
[/mm]
nach der dritten Spalte/Zeile entwickeln (Faustregel: immer nach der Zeile/Spalte entwickeln, in der die meisten Nullen sind). Dann ist das ganze schon von allein faktorisiert.
> ich weiß dass man hier jetzt die Polynomdivision anwenden
> musst, doch wie finde ich hier einen Wert heraus mit dem
> ich die Gleichung dann teilen kann. Ich hab hier ja nur
> Variablen. Man musste ja immer ausprobieren , welcher Wert
i ist keine Variable, i ist die imaginäre Einheit.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:49 Mo 24.05.2010 | | Autor: | DavidC |
Vielen Dank Stefan für die schnelle ANtwort
Was mir jetzt wiederum nicht schlüssig ist, ist warum [mm] i^2 [/mm] = -1 ?
Bedeutet das, dass man die Imaginäre frei wählen kann ? .. Hätte ich auch ne andere Zahl nehmen können ? oder gibt es da irgendwie eine Regel oder so ?
Ich bekomme doch dann EIgenwerte bezüglich der imaginären -1 . Eigenwerte nach i ist nicht möglich ?
>
> >
> > [mm]-L^3+L^2-Li^2+i^2[/mm] = 0
>
> [mm]i^2=-1[/mm]
> Danach kann man der Gleichung die Werte förmlich
> ansehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:00 Mo 24.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Vielen Dank Stefan für die schnelle ANtwort
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> Was mir jetzt wiederum nicht schlüssig ist, ist warum [mm]i^2[/mm]
> = -1 ?
Das ist einfach Definition!! Du kannst mit komplexen Zaheln im prinzip so rechnen wie du das bisher auch von den reellen Zahlen gewohnt warst, Das einzige was du beim Rechnen im Kompexen beachten musst ist eben gerade, dass [mm] i^2=-1 [/mm] ist.
LG kegel53
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