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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Do 08.07.2004
Autor: Christina775

Hallo alle zusammen.

Irgendwie finde ich keinen richtigen Ansatz zu folgender Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte.

Es sei B [mm] \in Mat_{n \times m} (\IR). [/mm] Zu beweisen ist:
1) Jeder Eigenwert ungleich Null von [mm] BB^{t} [/mm] ist auch Eigenwert von [mm] B^{t}B [/mm] und umgekehrt.
2) Alle Eigenwerte ungleich Null von [mm] BB^{t} [/mm] und [mm] B^{t}B [/mm] haben die gleichen Vielfachheiten.

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Vielen Dank schon Mal im Vorraus.
Liebe Grüße. Christina
        
Bezug
Eigenwerte: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Do 08.07.2004
Autor: Julius

Hallo Christina!

[willkommenmr]

Die a) ist jedenfalls einfach:

Ist [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ ein Eigenwert von [mm] $BB^t$, [/mm] so gibt es ein $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] $x [mm] \ne [/mm] 0$, mit

(*) [mm] $BB^t [/mm] x = [mm] \lambda [/mm] x$.

Wegen [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ und $x [mm] \ne [/mm] 0$ ist auch [mm] $\lambda [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0$, also $BB^tx [mm] \ne [/mm] 0$ und daher auch $y:=B^tx [mm] \ne [/mm] 0$.

Aus (*) folgt durch Anwendung von [mm] $B^t$: [/mm]

$(B^tB)y = [mm] (B^t [/mm] B)(B^tx) = [mm] B^t(BB^t [/mm] x) = [mm] B^t (\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda B^t [/mm] x = y$,

also ist $y=B^tx [mm] \ne [/mm] 0$ ein Eigenvektor von $B^tB$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm]

Damit haben wir gezeigt, dass jeder von $0$ verschiedene Eigenwert von [mm] $BB^t$ [/mm] auch ein Eigenwert von $B^tB$ ist. Die Umkehrung folgt analog (oder setze einfach: [mm] $\tilde{B}:=B^t$ [/mm] und wende das Gezeigte auf [mm] $\tilde{B}$ [/mm] an).

Über die Vielfachheiten muss ich mir (oder jemand anders ;-)) noch einmal Gedanken machen.

Liebe Grüße
Julius
Bezug
        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Sa 10.07.2004
Autor: Gnometech

Gruß!

Zu b) möchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis geben. Die Aussage, dass alle Eigenwerte mitsamt Vielfachheiten übereinstimmen ist doch äquivalent dazu zu sagen, dass beide Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben.

Und zu dem Zweck vielleicht gleich noch ein Tipp: man weiß doch, dass eine Matrix und ihre Transponierte immer dasselbe char. Polynom haben, weil doch gilt:

[mm] det(A) = det(A^t) [/mm]

woraus folgt:

[mm] det(A - xE_n) = det ((A - xE_n)^t) = det(A^t - xE_n^t) = det (A^t - xE_n) [/mm]

Damit sollte es nun ein Leichtes sein, die Aufgabe zu bearbeiten. Warum der Eigenwert 0 allerdings ausgenommen ist, bleibt mir ein Rätsel... für den gilt es doch natürlich auch, das ist sogar noch elementarer zu sehen - Stichwort "Zeilenrang ist gleich Spaltenrang".

Gnometech
Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Sa 10.07.2004
Autor: Stefan

Lieber Lars!

> Zu b) möchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis geben.
> Die Aussage, dass alle Eigenwerte mitsamt Vielfachheiten
> übereinstimmen ist doch äquivalent dazu zu sagen, dass
> beide Matrizen das gleiche charakteristische Polynom
> haben.
>  
> Und zu dem Zweck vielleicht gleich noch ein Tipp: man weiß
> doch, dass eine Matrix und ihre Transponierte immer
> dasselbe char. Polynom haben, weil doch gilt:
>  
> [mm]det(A) = det(A^t)[/mm]
>  
> woraus folgt:
>  
> [mm]det(A - xE_n) = det ((A - xE_n)^t) = det(A^t - xE_n^t) = det (A^t - xE_n)[/mm]
>  
>
> Damit sollte es nun ein Leichtes sein, die Aufgabe zu
> bearbeiten.

Ich muss ehrlich zugeben, dass ich es nicht hinbekomme. Tut mir leid, ich sehe gerade nicht, wie ich deinen Tipp verarbeiten soll. Vielleicht stelle ich mich ja saublöd an, aber ich will es jetzt wirklich wissen, wie man die Aufgabe löst. Kannst du es mir vielleicht erklären? Danke!

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Sa 10.07.2004
Autor: Gnometech

Gruß!

Sorry, mein Fehler, war auf dem falschen Dampfer. :(

Ich dachte, die betreffenden Matrizen wären transponiert zueinander, waren sie aber gar nicht. Also muß man das doch elementar machen.

Es folgt sogar direkt aus dem Beweis, der für Aufgabe a) angegeben wurde. Dort wurde zu jedem Eigenvektor x zu einem von null verschiedenen Eigenwert ein zweiter Eigenvektor y angegeben, nämlich durch die Definition: [mm] y = B^tx[/mm]. Ebenfalls wurde nachgerechnet, dass für alle x ungleich 0 dieses y dann auch von 0 verschieden ist.

Daraus folgt, dass [mm] B^t[/mm] eingeschränkt auf den Eigenraum zu einem beliebigen Eigenwert ungleich 0 eine Bijektion  aufs Bild ist (der Kern ist trivial). Die Abbildung führt in den Eigenraum der anderen Matrix.

Und das umgekehrte Argument zeigt, dass auch die Umkehrung gilt, also sind die Eigenräume isomorph, also haben sie die gleiche Dimension und das ist gerade die "Vielfachheit" des Eigenwertes´.

Habe mich leider doppelt geirrt, denn die Vielfachheit der Nullstelle im char. Polynom ist ja nicht die Dimension des Eigenraumes... das gilt ja nur, wenn diese Nullstelle im Minmalpolynom einfach ist.

Lars


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Sa 10.07.2004
Autor: Stefan

Lieber Lars!

Vielen Dank für die sehr gute Erklärung. [sunny]

Ich Idiot, da hätte ich echt drauf kommen müssen. [grummel]

Mir war gar nicht klar, dass es sich um die geometrische Vielfachheit handelte. Aber im Nachhinein ist das ja völlig logisch, denn über die algebraische Vielfachheit kann man unter diesen Voraussetzungen ja gar keine Aussagen treffen.

Naja, wieder was dazugelernt. ;-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
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