Eigenwert Symmetr. Matritzen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jede reelle, symmetrische 2 x 2-Matrix
[mm] \pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
mit a [mm] \not= [/mm] c genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsansatz:
det(A-tE)=0
det(A-tE)= [mm] \pmat{ a-t & b \\ b & c-t} [/mm] = (a-t)*(c-t)-b²=0
>> t²-(a+c)t+(ac-b²) = 0
p: -(a+c)
q: (ac-b)
pq:
[mm] \bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a+c)^2}{4}-(ac-b^2)}
[/mm]
=
[mm] \bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a^2+2ac+c^2)- 4 ac+ 4b^2}{4}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a^2-2ac+c^2)+ 4b^2}{4}}v
[/mm]
=
[mm] \bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a-c)^2 + 4b^2}{4}}
[/mm]
und jetzt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass jede reelle, symmetrische 2 x 2-Matrix
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
>
> mit a [mm]\not=[/mm] c genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte
> besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> det(A-tE)=0
>
> det(A-tE)= [mm]\pmat{ a-t & b \\ b & c-t}[/mm] = (a-t)*(c-t)-b²=0
>
> >> t²-(a+c)t+(ac-b²) = 0
>
> p: -(a+c)
> q: (ac-b)
>
> pq:
>
> [mm]\bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a+c)^2}{4}-(ac-b^2)}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a^2+2ac+c^2)- 4 ac+ 4b^2}{4}}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a^2-2ac+c^2)+ 4b^2}{4}}v[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{a+c}{2} \pm \wurzel{\bruch{(a-c)^2 + 4b^2}{4}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und jetzt ?
mann, Du hast es doch vor der Nase !
Wegen a \not= c , ist $\bruch{(a-c)^2 + 4b^2}{4}}>0$
somit hat die Gleichung $det(A-tE)=0 $ 2 versciedene reelle Lösungen
FRED
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