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| Aufgabe | | Sei [mm] A\in Hom(\IR^{2}, \IR^{2}) [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = E und [mm] A\not= [/mm] E. Es habe weiter A die Eigenvektoren (1,1) und (1,0). Bestimme ein solches A und gib die Matrix bezüglich der Standardbasis an. |
Hallo,
ich weiß leider bei der Aufgabe nicht, wie ich jeglichen Beweis machen soll. Wenn ich mir die Aufgabe angucke, dann ist nach den Voraussetzungen die einzige logische Lösung für [mm] A=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] oder?
Aber wenn ich dann versuche die Eigenwerte auszurechnen um dann auf meine Eigenvektoren zu kommen funktioniert das ganze nicht.
Habt ihr vielleicht einen Tipp für mich, ich wäre euch sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 29.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei [mm]A\in Hom(\IR^{2}, \IR^{2})[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = E und [mm]A\not=[/mm] E.
> Es habe weiter A die Eigenvektoren (1,1) und (1,0).
> Bestimme ein solches A und gib die Matrix bezüglich der
> Standardbasis an.
> Hallo,
>
> ich weiß leider bei der Aufgabe nicht, wie ich jeglichen
> Beweis machen soll. Wenn ich mir die Aufgabe angucke, dann
> ist nach den Voraussetzungen die einzige logische Lösung
> für [mm]A=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] oder?
Ja, dein A erfüllt alle Bedingungen der Aufgabe.
>
> Aber wenn ich dann versuche die Eigenwerte auszurechnen um
> dann auf meine Eigenvektoren zu kommen funktioniert das
> ganze nicht.
Wie hast Du es gerechnet?
Mit [mm] $\vmat{ -1-\lambda & 0 \\ 0 & -1-\lambda } [/mm] = [mm] (1+\lambda)^2 [/mm] = 0$,
komme ich auf den Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = -1$. (Nur ein Eigenwert)
Das selbe erhalte ich, wenn ich A auf die angegebenen Eigenvektoren anwende.
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> Habt ihr vielleicht einen Tipp für mich, ich wäre euch
> sehr dankbar!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:28 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Cheermaus |
Dankeschön, meine Frage hat sich schon erledigt.
Das A hatte ich vorher nicht ausgerechnet, das war für mich logisch, als ich die Frage gelesen habe, nur wusste ich nicht, wie ich es beweisen sollte.
Ich habe es jetzt über die Formel [mm] A*v=\lambda*v [/mm] bewiesen. v sei mein Eigenvektor und [mm] \lambda [/mm] mein Eigenwert. Wenn man zwei Gleichungen aufstellt und für v jeweils die gegebenen Eigenwerte einsetzt, kommt man unter Beachtung der Voraussetzung auf die Lösung.
Trotzdem danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Und was ist mit den Matrizen
$ [mm] B:=\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] $ und C:=-B ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wie findet man alle 2x2-Matrizen A mit den Eigenvektoren v=(1,0) und w=(1,1) und den Eigenschaften [mm] A^2=E [/mm] und A [mm] \ne [/mm] E ?
Wegen [mm] A^2=E [/mm] hat A die Eigenwerte [mm] \pm [/mm] 1 und es ist
(* ) 0 =(A+E)(A-E)
A muß den Eigenwert -1 haben, denn anderenfalls würde aus (*) folgen: A=E.
Damit ist A=-E eine Lösung.
Sei A [mm] \ne [/mm] -E. Wegen (*) muß dann A auch den Eigenwert 1 haben.
Dann gibt es 2 Möglichkeiten:
Av=v, Aw=-w
oder
Av=-v, Aw=w.
Dies liefert
$ [mm] A=\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] $ oder $ [mm] A=-\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] $
FRED
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