Eigenwert / Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 15.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist der Eigenvektor von [mm] \pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }
[/mm]
=> Lösung: [mm] \pmat{ 4 \\ 2 } [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Vorgehensweise: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
Also so wie ich das verstanden habe, muss ich mir zuerst den Eigenwert der Matrix und dann den Eigenvektor ausrechnen, wie folgend:
A := [mm] \pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }
[/mm]
E =: Einheitsmatrix
B := [mm] (A-\lambda [/mm] E) = [mm] \pmat{ 7 - \lambda & 2 \\ 1 & 6 - \lambda }
[/mm]
det B = [mm] \lambda² [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 40 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 5
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 8
Jetzt muss ich für jedes [mm] \lambda [/mm] den Einzelfall untersuchen:
[mm] \lambda= [/mm] 5
C:= [mm] A-\lambda_{1}E [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] =
2x+2y=0
x+y=0
x = y = 0
[mm] \lambda= [/mm] 8
C:= [mm] A-\lambda_{2}E [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 } [/mm] * [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] =
-x +2y=0
x- 2y= 0
Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar. Wie bekomme ich denn jetzt den Wert 4 / 2 heraus? Auf Wikipedia wurde die Matrix in eine Dreiecksform gebracht, mir ist diese Variante nicht bekannt und ich bezweifle, dass das mit einer 2x2 Matrix möglich ist.
Bis vor kurzem durften wie das alles mit dem Taschenrechner ausrechnen, neuerdings nichtmehr *hrmpf*.
Danke
lg
Zuggel
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> Gesucht ist der Eigenvektor von [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
>
> => Lösung: [mm]\pmat{ 4 \\ 2 }[/mm]
> Hallo alle zusammen.
>
> Vorgehensweise:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
>
> Also so wie ich das verstanden habe, muss ich mir zuerst
> den Eigenwert der Matrix und dann den Eigenvektor
> ausrechnen, wie folgend:
>
> A := [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
> E =: Einheitsmatrix
>
> B := [mm](A-\lambda[/mm] E) = [mm]\pmat{ 7 - \lambda & 2 \\ 1 & 6 - \lambda }[/mm]
>
> det B = [mm]\lambda²[/mm] - [mm]13\lambda[/mm] + 40 = 0
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 8
>
> Jetzt muss ich für jedes [mm]\lambda[/mm] den Einzelfall
> untersuchen:
>
> [mm]\lambda=[/mm] 5
>
> C:= [mm]A-\lambda_{1}E[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
> 2x+2y=0
> x+y=0
>
> x = y = 0
Hallo,
bis zum Gleichungssystem ist alles richtig, aber das GS ist nicht komplett gelöst. Für die Lösung x=y=0 hättest Du nichts rechnen müssen, die löst jedes homogene System.
Bestimme die vollständige Lösungsmenge.
>
> [mm]\lambda=[/mm] 8
>
> C:= [mm]A-\lambda_{2}E[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
>
> -x +2y=0
> x- 2y= 0
>
> Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar.
Wieso nicht. Ein Lösung (welche hier nicht interessiert) sieht man sofort: x=y=0.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du vor nicht allzu langer Zeit sogar Gleichungssysteme mit 3 Variablen und Parameter gelöst hast.
Falls Ihr das nicht müßt, ist es hierzu trotzdem sehr praktisch, sich den gaußalgorithmus anzueignen.
Das ist ein streng systematisches Eliminieren von Variablen.
Am besten Du schnappst Dir mal ein Schulbuch (Kl. 9) und schaust, wie man linear Gleichungssysteme löst.
I. > -x +2y=0
II. > x- 2y= 0
I'. -x +2y=0
II'=I+II 0=0
Alle (x,y) für welche x=2y gilt, lösen also das System, dh alle Vektoren [mm] v:=t*\vektor{2 \\ 1}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 8. (Überzeuge Dich davon, daß es ein Eigenvektor ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 15.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Gesucht ist der Eigenvektor von [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
>
> >
> > => Lösung: [mm]\pmat{ 4 \\ 2 }[/mm]
> > Hallo alle zusammen.
> >
> > Vorgehensweise:
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
> >
> > Also so wie ich das verstanden habe, muss ich mir zuerst
> > den Eigenwert der Matrix und dann den Eigenvektor
> > ausrechnen, wie folgend:
> >
> > A := [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
> > E =: Einheitsmatrix
> >
> > B := [mm](A-\lambda[/mm] E) = [mm]\pmat{ 7 - \lambda & 2 \\ 1 & 6 - \lambda }[/mm]
>
> >
> > det B = [mm]\lambda²[/mm] - [mm]13\lambda[/mm] + 40 = 0
> > [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5
> > [mm]\lambda_{2}[/mm] = 8
> >
> > Jetzt muss ich für jedes [mm]\lambda[/mm] den Einzelfall
> > untersuchen:
> >
> > [mm]\lambda=[/mm] 5
> >
> > C:= [mm]A-\lambda_{1}E[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
> > 2x+2y=0
> > x+y=0
> >
> > x = y = 0
>
> Hallo,
>
> bis zum Gleichungssystem ist alles richtig, aber das GS ist
> nicht komplett gelöst. Für die Lösung x=y=0 hättest Du
> nichts rechnen müssen, die löst jedes homogene System.
>
> Bestimme die vollständige Lösungsmenge.
Wäre dann x = y [mm] \in \IR
[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda=[/mm] 8
> >
> > C:= [mm]A-\lambda_{2}E[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
> >
> > -x +2y=0
> > x- 2y= 0
> >
> > Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar.
>
> Wieso nicht. Ein Lösung (welche hier nicht interessiert)
> sieht man sofort: x=y=0.
Ist es nicht so, dass Nullvektoren niemals Eigenvektoren sind?
>
> Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du vor nicht allzu langer
> Zeit sogar Gleichungssysteme mit 3 Variablen und Parameter
> gelöst hast.
>
Da hast du Recht, damals noch mit mit Taschenrechner, deshalb zur Zeit meine Unsicherheit!
> Falls Ihr das nicht müßt, ist es hierzu trotzdem sehr
> praktisch, sich den gaußalgorithmus anzueignen.
> Das ist ein streng systematisches Eliminieren von
> Variablen.
>
> Am besten Du schnappst Dir mal ein Schulbuch (Kl. 9) und
> schaust, wie man linear Gleichungssysteme löst.
>
Ich war mal relativ gut darin, nur dadurch, dass ich jetzt fast 1 Jahr einen Taschenrechner benutzen durfte, ist alles auf der Strecke geblieben.
> I. > -x +2y=0
> II. > x- 2y= 0
>
> I'. -x +2y=0
> II'=I+II 0=0
>
> Alle (x,y) für welche x=2y gilt, lösen also das System, dh
> alle Vektoren [mm]v:=t*\vektor{2 \\ 1}.[/mm]
>
> Also ist [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 8.
> (Überzeuge Dich davon, daß es ein Eigenvektor ist.)
>
Ich hatte die Lösung x= 2y vor mir, traurigerweise hat diese mir nichts gesagt *kleines Dummerchen bin*
Danke Angela, dir sollte ein Nobelpreis für mathematische Seelsorge gegeben werden 
lg
Zuggel
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> > > Gesucht ist der Eigenvektor von [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > => Lösung: [mm]\pmat{ 4 \\ 2 }[/mm]
> > > Hallo alle zusammen.
> > >
Hallo!!
> > > Vorgehensweise:
> > > http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
> > >
> > > Also so wie ich das verstanden habe, muss ich mir zuerst
> > > den Eigenwert der Matrix und dann den Eigenvektor
> > > ausrechnen, wie folgend:
> > >
> > > A := [mm]\pmat{ 7 & 2 \\ 1 & 6 }[/mm]
> > > E =:
> Einheitsmatrix
> > >
> > > B := [mm](A-\lambda[/mm] E) = [mm]\pmat{ 7 - \lambda & 2 \\ 1 & 6 - \lambda }[/mm]
>
> >
> > >
> > > det B = [mm]\lambda²[/mm] - [mm]13\lambda[/mm] + 40 = 0
> > > [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5
> > > [mm]\lambda_{2}[/mm] = 8
> > >
> > > Jetzt muss ich für jedes [mm]\lambda[/mm] den Einzelfall
> > > untersuchen:
> > >
> > > [mm]\lambda=[/mm] 5
> > >
> > > C:= [mm]A-\lambda_{1}E[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
> > >
> > > [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
> > > 2x+2y=0
> > > x+y=0
> > >
> > > x = y = 0
> >
> > Hallo,
> >
> > bis zum Gleichungssystem ist alles richtig, aber das GS ist
> > nicht komplett gelöst. Für die Lösung x=y=0 hättest Du
> > nichts rechnen müssen, die löst jedes homogene System.
> >
> > Bestimme die vollständige Lösungsmenge.
>
> Wäre dann x = y [mm]\in \IR[/mm]
Aus Gleichung II folgt doch y=-x. Wenn du das wieder in die erste Gleichung einsetzt, sieht du, dass diese Lösung passt: 0=0. Also ist deine Lösungsmenge hier: t* [mm] (1,-1)^T
[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\lambda=[/mm] 8
> > >
> > > C:= [mm]A-\lambda_{2}E[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm]
> > >
> > > [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -2 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] =
> > >
> > > -x +2y=0
> > > x- 2y= 0
> > >
> > > Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar.
> >
> > Wieso nicht. Ein Lösung (welche hier nicht interessiert)
> > sieht man sofort: x=y=0.
>
> Ist es nicht so, dass Nullvektoren niemals Eigenvektoren
> sind?
>
Das ist richtig! Deswegen hat Angela ja auch geschrieben, dass diese Lösung hier nicht interessiert. Aber daran erkennst du direkt, dass deine Aussage nicht richtig sein kann. Das LGS ist lösbar.
> >
> > Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du vor nicht allzu langer
> > Zeit sogar Gleichungssysteme mit 3 Variablen und Parameter
> > gelöst hast.
> >
>
> Da hast du Recht, damals noch mit mit Taschenrechner,
> deshalb zur Zeit meine Unsicherheit!
>
> > Falls Ihr das nicht müßt, ist es hierzu trotzdem sehr
> > praktisch, sich den gaußalgorithmus anzueignen.
> > Das ist ein streng systematisches Eliminieren von
> > Variablen.
> >
> > Am besten Du schnappst Dir mal ein Schulbuch (Kl. 9) und
> > schaust, wie man linear Gleichungssysteme löst.
> >
>
> Ich war mal relativ gut darin, nur dadurch, dass ich jetzt
> fast 1 Jahr einen Taschenrechner benutzen durfte, ist alles
> auf der Strecke geblieben.
>
Tja, Taschenrechner bringen nicht nur Vorteile mit sich 
> > I. > -x +2y=0
> > II. > x- 2y= 0
> >
> > I'. -x +2y=0
> > II'=I+II 0=0
> >
> > Alle (x,y) für welche x=2y gilt, lösen also das System, dh
> > alle Vektoren [mm]v:=t*\vektor{2 \\ 1}.[/mm]
> >
> > Also ist [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 8.
> > (Überzeuge Dich davon, daß es ein Eigenvektor ist.)
> >
>
> Ich hatte die Lösung x= 2y vor mir, traurigerweise hat
> diese mir nichts gesagt *kleines Dummerchen bin*
>
> Danke Angela, dir sollte ein Nobelpreis für mathematische
> Seelsorge gegeben werden
>
> lg
> Zuggel
>
Gruß Patrick
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ich habe hier noch eine interessante Matrix gefunden:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] mit Eigenwert = 1
Der Eigenvektor errechnet sich aus:
[mm] \pmat{ 1 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Wobei ich herausfinde, dass y=0 ist,
v:= t* [mm] \pmat{ x \\ y}
[/mm]
Mein erster Gedanke war natürlich v:= t* [mm] \pmat{ 0 \\ 0} [/mm] aber da das nicht geht meine Frage an euch:
Kann man annehmen, dass y = 0*x ist und somit x [mm] \in \IR [/mm] variiert wird während 0 immer 0 bleibt?
v:= t* [mm] \pmat{ 1 \\ 0}
[/mm]
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] mit Eigenwert = 1
>
> Der Eigenvektor errechnet sich aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
um die richtigen Begriffe ins Spiel zu bringen: von dieser Matrix ist der Kern zu berechnen.
Die Matrix hat den Rang 1, daher ist die Dimension des Kerns 2-1=1.
> Wobei ich herausfinde, dass y=0 ist,
die andere Variable kannst Du frei wählen.
Mit x:=t erhält man, daß die Lösungsvektoren die Gestalt [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{t \\ 0}=t*\vektor{1 \\ 0} [/mm] haben.
Mit [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] hat man eine Basis des gesuchten Kerns gefunden - und damit einen Eigenvektor.
> v:= t* [mm]\pmat{ 1 \\ 0}[/mm]
Dieses Ergebnis hattest Du ja auch gefunden.
Es sind alle Vektoren t* [mm] \pmat{ 1 \\ 0} [/mm] Eigenvektoren der Matrix, ausgenommen der Nullvektor.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] mit Eigenwert = 1
> >
> > Der Eigenvektor errechnet sich aus:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1 }[/mm] =
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Hallo,
>
> um die richtigen Begriffe ins Spiel zu bringen: von dieser
> Matrix ist der Kern zu berechnen.
>
> Die Matrix hat den Rang 1, daher ist die Dimension des
> Kerns 2-1=1.
Wenn ich jetzt deine Aussage und die mir geläufige Definition des Kerns einer Matrix zusammenführe komme ich zu folgendem:
Der Kern ist die Menge der Elemente die auf 0 abgebildet werden, indem ich also die Matrix mit [mm] \pmat{x \\ y }
[/mm]
multipliziere und 0 setze, suche ich diese Elemente?
Die Dimension des Kerns ist 1, das heist es gibt nur 1 Vektor der so etwas erfüllt?
>
> > Wobei ich herausfinde, dass y=0 ist,
>
> die andere Variable kannst Du frei wählen.
>
> Mit x:=t erhält man, daß die Lösungsvektoren die Gestalt
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{t \\ 0}=t*\vektor{1 \\ 0}[/mm] haben.
>
> Mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] hat man eine Basis des gesuchten Kerns
> gefunden - und damit einen Eigenvektor.
Einen Eigenvektor? Es sollte doch nur diesen einen und das Vielfache dieses Eigenvektors geben, oder habe ich etwas übersehen?
lg
Zuggel
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> >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] mit Eigenwert = 1
> > >
> > > Der Eigenvektor errechnet sich aus:
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1 }[/mm] =
> > > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > um die richtigen Begriffe ins Spiel zu bringen: von dieser
> > Matrix ist der Kern zu berechnen.
> >
> > Die Matrix hat den Rang 1, daher ist die Dimension des
> > Kerns 2-1=1.
>
> Wenn ich jetzt deine Aussage und die mir geläufige
> Definition des Kerns einer Matrix zusammenführe komme ich
> zu folgendem:
>
> Der Kern ist die Menge der Elemente die auf 0 abgebildet
> werden, indem ich also die Matrix mit [mm]\pmat{x \\ y }[/mm]
>
> multipliziere und 0 setze, suche ich diese Elemente?
Hallo,
ja.
Du hast festgestellt, daß 1 ein Eigenvektor ist, daß es also ein [mm] v\not=0 [/mm] gibt mit
Av=1*v <==> (A-1*E)v=0
Indem Du den Kern v. A-1*E bestimmst, bestimmst Du die Menge der Eigenvektoren, nämlich all die von 0 verschiedenen v, die das System lösen.
>
> Die Dimension des Kerns ist 1,
Ja.
> das heist es gibt nur 1
> Vektor der so etwas erfüllt?
Nein.
Der Lösungsraum hat die Dimension 1, dh. jede Basis des Lösungsraumes enthält nur ein Element.
> > Mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] hat man eine Basis des gesuchten Kerns
> > gefunden - und damit einen Eigenvektor.
>
> Einen Eigenvektor?
Ja.
> Es sollte doch nur diesen einen und das
> Vielfache dieses Eigenvektors geben, oder habe ich etwas
> übersehen?
Nein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 17.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] mit Eigenwert = 1
> > > >
> > > > Der Eigenvektor errechnet sich aus:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1 }[/mm] =
> > > > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > um die richtigen Begriffe ins Spiel zu bringen: von dieser
> > > Matrix ist der Kern zu berechnen.
> > >
> > > Die Matrix hat den Rang 1, daher ist die Dimension des
> > > Kerns 2-1=1.
> >
Ist das der Rangsatz?
Dimension des Kerns = Dimension von A - Rang von A?
Ist mit der Dimension(A) die Anzahl der voneinander lin. unabhängigen Spaltenvektoren gemeint?
> > Wenn ich jetzt deine Aussage und die mir geläufige
> > Definition des Kerns einer Matrix zusammenführe komme ich
> > zu folgendem:
> >
> > Der Kern ist die Menge der Elemente die auf 0 abgebildet
> > werden, indem ich also die Matrix mit [mm]\pmat{x \\ y }[/mm]
> >
> > multipliziere und 0 setze, suche ich diese Elemente?
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> Du hast festgestellt, daß 1 ein Eigenvektor ist, daß es
> also ein [mm]v\not=0[/mm] gibt mit
>
> Av=1*v <==> (A-1*E)v=0
>
> Indem Du den Kern v. A-1*E bestimmst, bestimmst Du die
> Menge der Eigenvektoren, nämlich all die von 0
> verschiedenen v, die das System lösen.
>
> >
> > Die Dimension des Kerns ist 1,
>
> Ja.
>
> > das heist es gibt nur 1
> > Vektor der so etwas erfüllt?
>
> Nein.
> Der Lösungsraum hat die Dimension 1, dh. jede Basis des
> Lösungsraumes enthält nur ein Element.
Also, dass mir die Dimension des Kerns sagt, wieviel Lösungsvektoren ich habe, ist noch verständlich. Jedoch, was bedeutet: Die Basis des Lösungsraumes?
Dankesehr
lg
Zuggel
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> Ist das der Rangsatz?
Hallo,
kann sein, daß der bei Euch so heißt.
>
> Dimension des Kerns = Dimension von A - Rang von A?
Irgendwo hast Du den ja her. Schreib den jetzt mal komplett auf. Inkl. Präludium.
>
> Ist mit der Dimension(A) die Anzahl der voneinander lin.
> unabhängigen Spaltenvektoren gemeint?
Dimension A ist sinnlos, weil Matrizen keine Dimension haben.
Es ist damit die Dimension des Startraumes der zugehörigen linearen Abbildung gemeint - und in der Tat ist die gleich der Spaltenzahl.
> > Der Lösungsraum hat die Dimension 1, dh. jede Basis des
> > Lösungsraumes enthält nur ein Element.
>
>
> Also, dass mir die Dimension des Kerns sagt, wieviel
> Lösungsvektoren ich habe, ist noch verständlich. Jedoch,
> was bedeutet: Die Basis des Lösungsraumes?
Wenn Du keine lineare Algebra hattest, ist es vielleicht schwer zu verstehen. Ich möchte eigentlich nicht die lin. Algebra v. Adam und Eva an aufrollen.
Nur soviel: wenn die Dimension 2 ist, liegen alle Lösungen in einer Ebene, und jeder Punkt dieser Ebene ist eine Lösung.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 17.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
>
> > Ist das der Rangsatz?
>
> Hallo,
>
> kann sein, daß der bei Euch so heißt.
>
> >
> > Dimension des Kerns = Dimension von A - Rang von A?
>
> Irgendwo hast Du den ja her. Schreib den jetzt mal komplett
> auf. Inkl. Präludium.
Ganz einfach: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
>
>
> >
> > Ist mit der Dimension(A) die Anzahl der voneinander lin.
> > unabhängigen Spaltenvektoren gemeint?
>
> Dimension A ist sinnlos, weil Matrizen keine Dimension
> haben.
> Es ist damit die Dimension des Startraumes der zugehörigen
> linearen Abbildung gemeint - und in der Tat ist die gleich
> der Spaltenzahl.
>
Der Spaltenzahl oder der voneinander unabhängigen Spaltenvektoren?
>
> > > Der Lösungsraum hat die Dimension 1, dh. jede Basis des
> > > Lösungsraumes enthält nur ein Element.
> >
> >
> > Also, dass mir die Dimension des Kerns sagt, wieviel
> > Lösungsvektoren ich habe, ist noch verständlich. Jedoch,
> > was bedeutet: Die Basis des Lösungsraumes?
>
> Wenn Du keine lineare Algebra hattest, ist es vielleicht
> schwer zu verstehen. Ich möchte eigentlich nicht die lin.
> Algebra v. Adam und Eva an aufrollen.
>
> Nur soviel: wenn die Dimension 2 ist, liegen alle Lösungen
> in einer Ebene, und jeder Punkt dieser Ebene ist eine
> Lösung.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Wenn die Dimension 1 ist so liegen dann wahrscheinlich alle Lösungen auf einer Geraden?
lg
Zuggel
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> > > Dimension des Kerns = Dimension von A - Rang von A?
> >
> > Irgendwo hast Du den ja her. Schreib den jetzt mal komplett
> > auf. Inkl. Präludium.
>
>
>
> Ganz einfach: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
Hallo,
wie gesagt: ich lege Wert aufs Präludium...
In dem Link ist die Rede von einer linearen Abbildung f von einem VR V in einen VR W.
Wenn Du den auf Matrizen anwendest, mußt Du das natürlich sinnvoll tun - was möglich ist.
Also:
Sei A die darstellende Matrix einer linearen Abbildung: V [mm] \to [/mm] W, beide VR endlichdimensional.
Dann gilt: dimRangA= dimV - dimKernA.
> > Es ist damit die Dimension des Startraumes der
> zugehörigen
> > linearen Abbildung gemeint - und in der Tat ist die gleich
> > der Spaltenzahl.
> >
>
> Der Spaltenzahl oder der voneinander unabhängigen
> Spaltenvektoren?
Die Spaltenzahl.
>
> >
> > > > Der Lösungsraum hat die Dimension 1,
> Wenn die Dimension 1 ist so liegen dann wahrscheinlich alle
> Lösungen auf einer Geraden?
Richtig. Und jeder Punkt dieser Geraden ist Lösung.
Gruß v. Angela
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