Eigenvektoren berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 So 10.04.2005 | | Autor: | bochs |
Hi, ich habe da nochmal ein Paar Fragen bezgl. dem Eigenwertproblem!
Ich moechte die Eigenwerte und Eigenvektoren zu folgender Matix
berechnen:
-5 -8 -13 -9
-4 0 -6 -4
2 1 5 2
6 7 11 10
Ich berechne das charakteristische Polynom und bekomme
die Eigenwerte 1,2,3 und 4 heraus.
Diese sind auch korrekt http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm
sagt das zumindest ;)
So, nun berechne ich doch die Eigenvektoren nach der Form
(A - lambda Id), d.h ich setze nacheinander fuer lambda die Eigenwerte ein und
wende das Eliminationsverfahren an.
Fuer lambda 1 ergibt sich also:
-6 -8 -13 -9
-4 -1 -6 -4
2 1 4 2
6 7 11 9
Der Eigenvektor fuer lambda = 1 soll dann (-4, -2, 1, 3)tr sein.
Das Ergebnis bekomme ich jedoch nicht heraus, wenn ich obige Matrix
nach dem Eliminationsverfahren loese ... ;(
Gerechnet habe ich folgendermassen:
-6 -8 -13 -9
-4 -1 -6 -4
2 1 4 2
6 7 11 9
Vertausche Zeile:
2 1 4 2 |:2
-4 -1 -6 -4 |+2I
-6 -8 -13 -9 |+3I
6 7 11 9 |-3I
1 1/2 2 1
0 1 2 0
0 -5 -1 -3 |+5II
0 4 -1 3 |-4I
1 1/2 2 1
0 1 2 0
0 0 9 -3
0 0 -9 3 |+ III
1 1/2 2 1
0 1 2 0
0 0 9 -3
0 0 0 0
etc. also auf jeden Fall komme ich auf ein anderes
Ergebnis ... Ich gehe daher davon aus das ich einen
sehr dummen (grundlegenden) Fehler mache und ich
waere sehr dankbar wenn mich jemand darauf aufmerksam
machen koennte! Verrechne ich mich nur oder mache ich
generell etwas falsch??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo bochs!
Du machst alles richtig, ich konnte keinen Fehler finden! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Der Eigenvektor fuer lambda = 1 soll dann (-4, -2, 1, 3)tr
> sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1 1/2 2 1
> 0 1 2 0
> 0 0 9 -3
> 0 0 0 0
Wir setzen [mm] $x_4=\lambda$ [/mm] beliebig.
Dann folgt aus der dritten Gleichung
[mm] $9x_3 [/mm] = [mm] 3\lambda$,
[/mm]
also:
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \lambda$.
[/mm]
Aus der zweiten Gleichung folgt:
[mm] $x_2 [/mm] + [mm] 2x_3=0$,
[/mm]
also:
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -2x_3 [/mm] = [mm] -\frac{2}{3} \lambda$.
[/mm]
Aus der ersten Gleichung erhält man:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}x_2 -2x_3 -x_4 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \lambda -\frac{2}{3} \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \frac{4}{3} \lambda$.
[/mm]
Speziell für [mm] $\lambda=3$ [/mm] erhält man also:
[mm] $x_4= \lambda=3$,
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \cdot [/mm] 3 = 1$,
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -\frac{2}{3} \lambda [/mm] = - [mm] \frac{2}{3} \cdot [/mm] 3 = -2$,
[mm] $x_1 [/mm] = - [mm] \frac{4}{3} \lambda [/mm] = - [mm] \frac{4}{3} \cdot [/mm] 3 = -4$,
wie behauptet.
Bitte beachte (vielleicht war das dein Missverständnis), dass ein Eigenvektor zu einem (einfachen) Eigenwert nur bis auf Multiplikation mit Skalaren eindeutig bestimmt ist.
Wenn du also zum Beispiel [mm] $\pmat{6 \\ 2 \\ -4 \\ -8}$ [/mm] rausbekommst, ist das ebenso richtig. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 So 10.04.2005 | | Autor: | bochs |
Hi, super danke! Jetzt habe ich es verstanden ;) Vielen dank, dass hatte mich schon eine ganze Weile beschaeftigt und ich bin einfach nicht drauf gekommen.
Super! Alles macht wieder Sinn ;)
mfg bochs
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