Eigenvektoren Laplace Operator < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Sei [mm]\Delta :=D_{-}D_{+}[/mm] der Laplace Operator [mm]\IC^n\mapsto \IC^n[/mm]
wobei
[mm](D_{-}*v)_i:=v_i-v_{i-1}[/mm]
[mm](D_{+}*v)_i:=v_{i+1}-v_i[/mm]
[mm]v_{n+1}=v_1[/mm]
[mm]v_0=v_n[/mm]
Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm]\Delta[/mm]
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Grüße Matheraum.
Ich habe für die obere Aufgabe bereits die Eigenwerte bestimmt.
Hier erhalte ich: [mm]\lambda_k=-4sin^2(\pi \bruch{k}{n})[/mm]
Für die Eigenvektoren fehlt mir jetzt allerdings etwas die Idee.
Die Eigenwerte habe ich erhalten, indem ich den Laplace Operator durch diskrete Fouriertransformation diagonalisiert habe. Also sind die Diagonalelemente die Eigenwerte.
Wie komme ich nun allgemein an die Eigenvektoren ran?
Die Eigenraumbestimmung wie man sie normalerweise in der LinAlg benutzt schien mir etwas hoffnungslos.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Für Antworten und Hinweise wäre ich dankbar.
Grüße
Phorkyas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Phorkyas!
> Sei [mm]\Delta :=D_{-}D_{+}[/mm] der Laplace Operator [mm]\IC^n\mapsto \IC^n[/mm]
>
> wobei
> [mm](D_{-}*v)_i:=v_i-v_{i-1}[/mm]
> [mm](D_{+}*v)_i:=v_{i+1}-v_i[/mm]
> [mm]v_{n+1}=v_1[/mm]
> [mm]v_0=v_n[/mm]
>
> Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm]\Delta[/mm]
>
> Grüße Matheraum.
>
> Ich habe für die obere Aufgabe bereits die Eigenwerte
> bestimmt.
> Hier erhalte ich: [mm]\lambda_k=-4sin^2(\pi \bruch{k}{n})[/mm]
>
> Für die Eigenvektoren fehlt mir jetzt allerdings etwas die
> Idee.
> Die Eigenwerte habe ich erhalten, indem ich den Laplace
> Operator durch diskrete Fouriertransformation
> diagonalisiert habe. Also sind die Diagonalelemente die
> Eigenwerte.
>
> Wie komme ich nun allgemein an die Eigenvektoren ran?
Du hast doch die Transformation auf Diagonalform. Da der diskrete Laplace-Operator eine symmetrische Matrix ist, ist die diskrete Fouriertransformation auf Diagonalform unitär; und die Spaltenvektoren dieser Matrix sind die Eigenvektoren.
> Die Eigenraumbestimmung wie man sie normalerweise in der
> LinAlg benutzt schien mir etwas hoffnungslos.
Warum? Die Matrixdarstellung des Operators ist doch ziemlich einfach: alle Hauptdiagonalelemente -2, alle Nebendiagonalelemente 1, dazu noch 1 in den beiden übrigen Ecken. Der Eigenvektor zu [mm] $\lambda_n=0$ [/mm] ist zum Beispiel
[mm] \vektor{1\\1\\\vdots\\1\\1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Danke für die ausführliche Antwort, das hatte ich komplett übersehen.
Gruß
Phorkyas
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Hallo Phorkyas!
Bist du sicher wegen den Eigenwerten? ich erhalte
[mm] \lambda_n=\frac{4}{n} \sin^2(\frac{l \pi}{n})
[/mm]
wobei die Division durch n von der Normierung der DFT kommt, dafür kriege ich kein Minus. Oder bist du sicher dass deine Lösung korrekt ist?
Gruss!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 20.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 19.01.2010 | | Autor: | Makunga |
Ich sehe noch nicht ganz so durch, die Eigenwerte habe ich auf die selbe Weise erhalten, jedoch wie komme ich nun auf die Eigenvektoren? Deinen Hinweis konnte ich nicht nachvollziehen auch nicht wie du auf den Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_{n}=0: \vektor{1 \\ 1 \\ .\\ .\\ . \\ 1\\ 1} [/mm] kommst. Könntest du das noch mal näher erklären? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich sehe noch nicht ganz so durch, die Eigenwerte habe ich
> auf die selbe Weise erhalten, jedoch wie komme ich nun auf
> die Eigenvektoren? Deinen Hinweis konnte ich nicht
> nachvollziehen auch nicht wie du auf den Eigenvektor zum
> Eigenwert [mm]\lambda_{n}=0: \vektor{1 \\ 1 \\ .\\ .\\ . \\ 1\\ 1}[/mm]
> kommst. Könntest du das noch mal näher erklären? Vielen
> Dank.
Du musst dir nur die Matrixdarstellung des Operators hinschreiben: in allen Zeilen gibt es nur drei von 0 verschiedene Elemente, nämlich 1,-2,1. Der angegebene Vektor wird daher auf sich selbst abgebildet, ist also Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 Do 21.01.2010 | | Autor: | Makunga |
Hallo,
ich habe meine Frage nicht ganz exakt gestellt, entschuldigung. Viel mehr meinte ich, wie man die Transformationsmatrix und damit die Eigenvektoren in ihren Spalten erhält?
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 25.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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